Sistemas de ecuaciones

a) Matrices del sistema:$$M = \begin{pmatrix} a & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -a \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -1 & 1 & a - 4 \\ 2 & 1 & -a & a - 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{array}\right)$$Desarrollando por la primera columna:$$|M| = a\begin{vmatrix} 1 & -a \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = a(-1 + a) - 2(1 - 1) = a^2 - a = a(a - 1)$$$$|M| = 0 \iff a = 0 \ \text{ o } \ a = 1$$Caso $a \ne 0$ y $a \ne 1$. $|M| \ne 0$, así que $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 0$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{rcl} -y + z & = & -4 \\ 2x + y & = & -1 \\ y - z & = & -3 \end{array}\right.$$$\operatorname{rg} M = 2$, porque $|M| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \ne 0$. En la ampliada, el menor formado por las columnas de $y$, $z$ y términos independientes es$$\begin{vmatrix} -1 & 1 & -4 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 7 \ne 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg} M^* = 3$$Como $\operatorname{rg} M = 2 \ne 3 = \operatorname{rg} M^*$: sistema incompatible. Se ve también a simple vista: la primera ecuación dice $y - z = 4$ y la tercera, $y - z = -3$.

Caso $a = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{rcl} x - y + z & = & -3 \\ 2x + y - z & = & 0 \\ y - z & = & -3 \end{array}\right.$$$\operatorname{rg} M = 2$ ($|M| = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \ne 0$). En la ampliada:$$\begin{vmatrix} -1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0, \qquad \begin{vmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = -15 \ne 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg} M^* = 3$$De nuevo $\operatorname{rg} M = 2 \ne 3 = \operatorname{rg} M^*$: sistema incompatible. (Sumando las dos primeras ecuaciones, $3x = -3$, $x = -1$, y la segunda da $y - z = 2$, que contradice la tercera.)

Resumen:b) Para $a = -1$ ($|M| = (-1)(-2) = 2 \ne 0$, compatible determinado):$$\left\{\begin{array}{rcl} -x - y + z & = & -5 \\ 2x + y + z & = & -2 \\ y - z & = & -3 \end{array}\right.$$De la tercera, $y = z - 3$. Sustituyendo en la primera:$$-x - (z - 3) + z = -5 \;\Longrightarrow\; -x + 3 = -5 \;\Longrightarrow\; x = 8$$Y en la segunda:$$16 + (z - 3) + z = -2 \;\Longrightarrow\; 2z = -15 \;\Longrightarrow\; z = -\frac{15}{2}, \qquad y = -\frac{15}{2} - 3 = -\frac{21}{2}$$Comprobación: $-8 + \frac{21}{2} - \frac{15}{2} = -8 + 3 = -5$ ✓; $16 - \frac{21}{2} - \frac{15}{2} = 16 - 18 = -2$ ✓; $-\frac{21}{2} + \frac{15}{2} = -3$ ✓.