Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Castilla-La Mancha · 2017 · Junio · Opción A
Enunciado
Con una chapa metálica de 8×58 \times 5 metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajón sin tapa de volumen máximo. Halla razonadamente las dimensiones de dicho cajón.
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Resultado
Cajoˊn de 6 m×3 m×1 m (cuadrados de 1 m);Vmax⁡=18 m3\boxed{\text{Cajón de } 6\ \text{m} \times 3\ \text{m} \times 1\ \text{m} \ (\text{cuadrados de } 1\ \text{m});\quad V_{\max} = 18\ \text{m}^3}
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Estrategia

Imagina la chapa: en cada una de las cuatro esquinas recortamos un cuadrado de lado xx y doblamos hacia arriba las cuatro solapas que quedan. Las solapas son las paredes del cajón, de altura xx, y el fondo es un rectángulo al que le hemos quitado xx por cada lado: mide (8−2x)×(5−2x)(8 - 2x) \times (5 - 2x).

Con eso escribimos el volumen como función de una sola variable, V(x)V(x), fijamos para qué valores de xx tiene sentido (el lado del cuadrado no puede comerse la chapa) y buscamos su máximo derivando. Al final comprobamos que el punto hallado es un máximo y damos las tres dimensiones, que es lo que se pide.
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Desarrollo

Variable y función. Sea xx (en metros) el lado de los cuadrados que se recortan. El cajón tiene
  • largo: 8−2x8 - 2x,
  • ancho: 5−2x5 - 2x,
  • alto: xx.
Su volumen esV(x)=x(8−2x)(5−2x)=4x3−26x2+40xV(x) = x(8 - 2x)(5 - 2x) = 4x^3 - 26x^2 + 40xDominio. Las tres medidas deben ser positivas: x>0x > 0 y 5−2x>05 - 2x > 0 (la más restrictiva), es decir, x∈(0; 2,5)x \in (0;\ 2{,}5).

Puntos críticos.V′(x)=12x2−52x+40=4(3x2−13x+10)V'(x) = 12x^2 - 52x + 40 = 4(3x^2 - 13x + 10)V′(x)=0  ⟹  x=13±169−1206=13±76  ⟹  x=1ox=103V'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 120}}{6} = \frac{13 \pm 7}{6} \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad \text{o} \quad x = \frac{10}{3}El valor x=103≈3,33x = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 queda fuera del dominio (el ancho sería negativo), así que el único candidato es x=1x = 1.

Es un máximo. V′′(x)=24x−52V''(x) = 24x - 52 y V′′(1)=−28<0V''(1) = -28 < 0, luego en x=1x = 1 hay un máximo relativo. Además, como es el único punto crítico en (0; 2,5)(0;\ 2{,}5) y VV crece antes (V′>0V' > 0 en (0,1)(0, 1)) y decrece después (V′<0V' < 0 en (1; 2,5)(1;\ 2{,}5)), es el máximo absoluto en el dominio.

Dimensiones. Con x=1x = 1:largo=8−2=6 m,ancho=5−2=3 m,alto=1 m\text{largo} = 8 - 2 = 6\ \text{m}, \qquad \text{ancho} = 5 - 2 = 3\ \text{m}, \qquad \text{alto} = 1\ \text{m}y el volumen máximo es V(1)=6⋅3⋅1=18 m3V(1) = 6 \cdot 3 \cdot 1 = 18\ \text{m}^3.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

No olvides el dominio: aquí la ecuación V′(x)=0V'(x) = 0 da dos soluciones y la de x=10/3x = 10/3 hay que descartarla porque no cabe en la chapa. Justifica que es máximo (con V′′V'' o con el signo de V′V') y responde con las dimensiones del cajón, no solo con el valor de xx.
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