Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Dada la función

f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{si } x \le 2 \\ -x^2 + bx - 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}

a) (1,5 puntos) Calcula razonadamente los parámetros

a

b

para que

f(x)

sea derivable en todo

\mathbb{R}

.

b) (1 punto) Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la función

f(x)

verifica las hipótesis del teorema en el intervalo

[-2, 6]

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ a = -1,\quad b = 8}

\boxed{\text{b)}\ \text{Sí: } f \text{ es continua y derivable y } f(-2) = f(6) = 3;\ f'(c) = 0 \text{ en } c = 0 \text{ y } c = 4}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada trozo es un polinomio, así que

f

es continua y derivable en todos los puntos salvo, quizá, en el punto de unión

x = 2

. Para que sea derivable ahí hacen falta dos condiciones: que sea continua en

x = 2

(los dos trozos llegan al mismo valor) y que las derivadas laterales coincidan (los dos trozos llegan con la misma pendiente). Son dos ecuaciones para las dos incógnitas

a

b

.

En b) enunciamos Rolle con sus tres hipótesis y las comprobamos una a una con la función ya fijada: continuidad en

[-2, 6]

, derivabilidad en

(-2, 6)

f(-2) = f(6)

Desarrollo

a) En

(-\infty, 2)

y en

(2, +\infty)

la función coincide con un polinomio, luego es continua y derivable. Solo hay que estudiar

x = 2

.

Continuidad en $x = 2$ .

f(2) = 4 + a

\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 + a, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = -4 + 2b - 9 = 2b - 13

Para que sea continua:

4 + a = 2b - 13 \;\Longrightarrow\; a - 2b = -17

.

Derivadas laterales. Fuera de

x = 2

f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 2 \\ -2x + b & \text{si } x > 2 \end{cases}

f

es continua en

2

, sus derivadas laterales son los límites laterales de

f'

f'(2^-) = 2\cdot 2 = 4, \qquad f'(2^+) = -4 + b

Para que sea derivable:

4 = -4 + b \;\Longrightarrow\; b = 8

.

Llevándolo a la condición de continuidad:

a = 2\cdot 8 - 17 = -1

.

Con

a = -1

b = 8

f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ -x^2 + 8x - 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}

Comprobación: los dos trozos valen

3

x = 2

(

4 - 1 = 3

-4 + 16 - 9 = 3

) y los dos tienen pendiente

4

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Enunciado del teorema de Rolle: si

f

es una función continua en $[a, b]$ , derivable en $(a, b)$ y $f(a) = f(b)$ , entonces existe al menos un punto

c \in (a, b)

tal que

f'(c) = 0

.

Comprobamos las hipótesis para

f

[-2, 6]

Continuidad en $[-2, 6]$ : por a), $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (es derivable, y derivable implica continua), en particular en $[-2, 6]$ ✓.
Derivabilidad en $(-2, 6)$ : $f$ es derivable en todo $\mathbb{R}$ por construcción, también en $x = 2$ , que está dentro del intervalo ✓.
Valores en los extremos: $-2 \le 2$ y $6 > 2$ , así que

f(-2) = (-2)^2 - 1 = 3, \qquad f(6) = -36 + 48 - 9 = 3

f(-2) = f(6)

✓.

Por tanto,

f

sí verifica las hipótesis del teorema de Rolle en

[-2, 6]

. Como confirmación, los puntos que garantiza el teorema existen:

f'(x) = 2x = 0

x = 0 \in (-2, 2)

f'(x) = -2x + 8 = 0

x = 4 \in (2, 6)

Consejo

Para que una función a trozos sea derivable en el punto de unión primero tiene que ser continua: si solo igualas las derivadas laterales te falta una ecuación y no puedes hallar $a$ .

En Rolle no basta con calcular $f(-2)$ y $f(6)$ : hay que nombrar y justificar las tres hipótesis. Y fíjate en qué trozo cae cada extremo del intervalo antes de sustituir.