Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

a) De una urna que contiene tres bolas blancas y dos bolas rojas extraemos, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. Calcula razonadamente la probabilidad de:

a1) Que la segunda bola extraída sea blanca. (0,75 puntos)

a2) Si la segunda bola extraída ha sido blanca, que la primera fuera roja. (0,5 puntos)

b) El tiempo de duración de las llamadas telefónicas a cierta centralita se distribuye según una distribución normal de media 5 minutos y varianza 4. Calcula razonadamente:

b1) La probabilidad de que una llamada dure menos de 4,5 minutos. (0,75 puntos)

b2) El tiempo de duración que no es superado por el 33 % de las llamadas. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)

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Resultado

\boxed{\;\text{a1)}\ P(B_2) = \frac{3}{5} \qquad \text{a2)}\ P(R_1 \mid B_2) = \frac{1}{2}\;}

\boxed{\;\text{b1)}\ P(X < 4{,}5) = 0{,}4013 \qquad \text{b2)}\ t = 4{,}12\ \text{min}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Sin reemplazamiento, la composición de la urna cambia tras la primera extracción, así que lo natural es un árbol de dos niveles: primero el color de la primera bola y luego el de la segunda. a1) es la probabilidad total (sumar las dos ramas que acaban en blanca) y a2) es Bayes (de la segunda bola hacia la primera).

b) Ojo con el dato: la varianza es 4, así que la desviación típica es

\sigma = 2

. Tipificamos con

Z = \frac{X - 5}{2}

. En b1) buscamos una probabilidad en la tabla (usando la simetría, porque el valor tipificado es negativo); en b2) es el problema inverso: conocemos la probabilidad y buscamos el valor.

Desarrollo

a) Sucesos:

B_1

R_1

= «la primera bola es blanca / roja»;

B_2

= «la segunda es blanca».

$P(B_1) = \frac{3}{5}$ y, si salió blanca, quedan 2 blancas de 4: $P(B_2 \mid B_1) = \frac{2}{4}$ .
$P(R_1) = \frac{2}{5}$ y, si salió roja, quedan 3 blancas de 4: $P(B_2 \mid R_1) = \frac{3}{4}$ .

a1) Por la probabilidad total:

P(B_2) = P(B_1)\,P(B_2 \mid B_1) + P(R_1)\,P(B_2 \mid R_1) = \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4} + \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0{,}6

(Es lo mismo que la probabilidad de que la primera sea blanca: sin información sobre la primera, la segunda bola «no sabe» que es la segunda.)

a2) Por Bayes:

P(R_1 \mid B_2) = \frac{P(R_1)\,P(B_2 \mid R_1)}{P(B_2)} = \frac{\frac{6}{20}}{\frac{12}{20}} = \frac{1}{2} = 0{,}5

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X

= «duración de una llamada (min)»,

X \sim N(\mu = 5,\ \sigma = \sqrt{4} = 2)

.

b1) Tipificando:

P(X < 4{,}5) = P\left(Z < \frac{4{,}5 - 5}{2}\right) = P(Z < -0{,}25)

La tabla solo trae valores positivos; por la simetría de la normal:

P(Z < -0{,}25) = P(Z > 0{,}25) = 1 - P(Z \leq 0{,}25) = 1 - 0{,}5987 = 0{,}4013

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b2) Buscamos

t

tal que

P(X \leq t) = 0{,}33

. Como

0{,}33 < 0{,}5

t

está por debajo de la media y su valor tipificado

z = \frac{t - 5}{2}

es negativo. Por simetría:

P(Z \leq z) = 0{,}33 \iff P(Z \leq -z) = 1 - 0{,}33 = 0{,}67

En la tabla,

P(Z \leq 0{,}44) = 0{,}6700

exactamente, así que

-z = 0{,}44

, es decir,

z = -0{,}44

. Deshaciendo la tipificación:

\frac{t - 5}{2} = -0{,}44 \;\Longrightarrow\; t = 5 - 2\cdot 0{,}44 = 4{,}12\ \text{minutos}

El 33 % de las llamadas dura como mucho

4{,}12

minutos (unos 4 minutos y 7 segundos).

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Consejo

El dato es la varianza, no la desviación típica: $\sigma = \sqrt{4} = 2$ . Tipificar con $\sigma = 4$ es el error más frecuente y echa a perder los dos apartados de b).

En b2) la probabilidad $0{,}33$ no está en la tabla: busca $0{,}67$ y cambia el signo, porque el valor está a la izquierda de la media. Comprueba que $t = 4{,}12 < 5$ tiene sentido.