Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

a) Halla razonadamente el valor de

a \in \mathbb{R}

para el cual el plano

\alpha \equiv x - y - az + 5 = 0

es paralelo a la recta (1,25 puntos)

r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{-5} = \frac{z}{2}

b) Calcula razonadamente la distancia del punto

P(1, 2, 3)

a la recta

r \equiv \dfrac{x - 3}{2} = y - 1 = z

(1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ a = 4 \quad (\vec{v}\cdot\vec{n} = 8 - 2a = 0 \text{ y } (2,0,0) \notin \alpha)\;}

\boxed{\;\text{b)}\ d(P, r) = \sqrt{14} \approx 3{,}74\ \text{u}\;}

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Estrategia

a) Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano (producto escalar nulo) y, además, la recta no está contenida en el plano (basta ver que uno de sus puntos no cumple la ecuación del plano).

b) Para la distancia de un punto a una recta usamos la fórmula del producto vectorial,

d(P, r) = \frac{\left|\vec{AP} \times \vec{v}\right|}{|\vec{v}|},

con

A

un punto de

r

\vec{v}

su vector director (es la altura del paralelogramo de lados

\vec{AP}

\vec{v}

). Ojo: la recta de b) no es la misma que la de a).

Desarrollo

a) De la recta

r

: punto

A_r(2, 0, 0)

y vector director

\vec{v} = (3, -5, 2)

. Del plano: vector normal

\vec{n} = (1, -1, -a)

.

Condición de paralelismo:

\vec{v} \perp \vec{n}

\vec{v}\cdot\vec{n} = 3\cdot 1 + (-5)(-1) + 2(-a) = 3 + 5 - 2a = 8 - 2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 4.

La recta no está contenida en el plano. Con

a = 4

\alpha \equiv x - y - 4z + 5 = 0

, y el punto

A_r(2, 0, 0)

2 - 0 - 0 + 5 = 7 \neq 0

: no pertenece a

\alpha

. Por tanto, para

a = 4

la recta es paralela al plano (y no está contenida en él). Para cualquier otro valor de

a

\vec{v}\cdot\vec{n} \neq 0

y la recta corta al plano.

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b) Escribimos

r

en forma continua completa:

\dfrac{x - 3}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z - 0}{1}

. Punto

A(3, 1, 0)

y vector director

\vec{v} = (2, 1, 1)

\vec{AP} = (1 - 3,\ 2 - 1,\ 3 - 0) = (-2, 1, 3)

\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 3)\,\vec{i} - (-2 - 6)\,\vec{j} + (-2 - 2)\,\vec{k} = (-2, 8, -4)

\left|\vec{AP} \times \vec{v}\right| = \sqrt{4 + 64 + 16} = \sqrt{84}, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

d(P, r) = \frac{\sqrt{84}}{\sqrt{6}} = \sqrt{14} \approx 3{,}74\ \text{u}

Comprobación.

\vec{AP}\cdot\vec{v} = -4 + 1 + 3 = 0

: el vector

\vec{AP}

ya es perpendicular a la recta, así que

A(3, 1, 0)

es justo el pie de la perpendicular desde

P

y la distancia es

|\vec{AP}| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}

✓.

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Consejo

En a), anular el producto escalar no basta: con eso la recta podría estar contenida en el plano. Comprueba un punto de la recta en la ecuación del plano.

En b), lee bien la recta: « $y - 1$ » y « $z$ » tienen denominador $1$ , así que el director es $(2, 1, 1)$ y el punto $(3, 1, 0)$ . No uses la recta de a): es otra.