Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción B
Enunciado
Dadas matricesA=(011100001),B=(−1010−10110)yC=(110030−101)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}a) Calcula razonadamente A−1A^{-1}. (1 punto)

b) Calcula razonadamente la matriz XX que verifica que A⋅X+B=C2A \cdot X + B = C^2. (1,5 puntos)
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Resultado
  a) A−1=(01010−1001)  \boxed{\;\text{a)}\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\;}  b) X=A−1(C2−B)=(010056−2−3−21)  \boxed{\;\text{b)}\ X = A^{-1}(C^2 - B) = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 \\ 5 & 6 & -2 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}\;}
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Estrategia

a) Primero el determinante: si no es cero, AA tiene inversa, y la calculamos por adjuntos, A−1=1∣A∣(Adj⁡A)tA^{-1} = \frac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj} A\right)^t.

b) Despejamos XX como en una ecuación normal, pero respetando el orden del producto: AX=C2−BAX = C^2 - B y, multiplicando por A−1A^{-1} por la izquierda, X=A−1(C2−B)X = A^{-1}(C^2 - B). Solo queda calcular C2C^2, restar y multiplicar.
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Desarrollo

a) Determinante (desarrollando por la tercera fila):∣A∣=1⋅∣0110∣=1⋅(0−1)=−1≠0,|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 - 1) = -1 \neq 0,luego AA es invertible.

Adjuntos Aij=(−1)i+j MijA_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}:A11=∣0001∣=0,A12=−∣1001∣=−1,A13=∣1000∣=0,A_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0,A21=−∣1101∣=−1,A22=∣0101∣=0,A23=−∣0100∣=0,A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0,A31=∣1100∣=0,A32=−∣0110∣=1,A33=∣0110∣=−1.A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1.Adj⁡A=(0−10−10001−1),(Adj⁡A)t=(0−10−10100−1)\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \left(\operatorname{Adj} A\right)^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}A−1=1−1(0−10−10100−1)=(01010−1001)A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}Comprobación: A⋅A−1=(011100001)(01010−1001)=(100010001)A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ✓.

b) Despeje. AX+B=C2⇒AX=C2−B⇒X=A−1(C2−B)AX + B = C^2 \Rightarrow AX = C^2 - B \Rightarrow X = A^{-1}\left(C^2 - B\right).

Cálculo de C2C^2:C2=(110030−101)(110030−101)=(140090−2−11)C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}C2−B=(140090−2−11)−(−1010−10110)=(24−10100−3−21)C^2 - B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & 10 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}Producto:X=(01010−1001)(24−10100−3−21)=(010056−2−3−21)X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & 10 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 \\ 5 & 6 & -2 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}(fila 1: copia la fila 2 del segundo factor; fila 2: fila 1 menos fila 3, (2+3, 4+2, −1−1)(2+3,\ 4+2,\ -1-1); fila 3: copia la fila 3).

Comprobación: AX=(24−10100−3−21)AX = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & 10 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}, y sumando BB se obtiene (140090−2−11)=C2\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = C^2 ✓.
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Consejo

Al despejar, A−1A^{-1} va a la izquierda: X=A−1(C2−B)X = A^{-1}(C^2 - B), no (C2−B)A−1(C^2 - B)A^{-1}, porque el producto de matrices no es conmutativo. Y nunca «dividas» entre una matriz.

En la inversa por adjuntos el fallo típico es olvidar trasponer o el signo (−1)i+j(-1)^{i+j}. Comprueba A⋅A−1=IA\cdot A^{-1} = I antes de seguir: un error en a) arrastra todo b).
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