Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Calcula razonadamente las siguientes integrales: (1,25 puntos por integral)

a)

\displaystyle\int \frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2}\,dx

\displaystyle\int x^2 \ln x\,dx

Nota:

\ln

denota logaritmo neperiano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \frac{x^2}{2} + x - 2\ln|x - 1| + 4\ln|x + 2| + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Es una integral racional con el numerador de grado mayor que el denominador. Primero se divide (cociente más resto entre divisor); después, el resto se descompone en fracciones simples usando las raíces del denominador,

x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)

. Cada fracción simple da un logaritmo.

b) Producto de un polinomio por un logaritmo: por partes, derivando el logaritmo (

u = \ln x

) e integrando el polinomio (

dv = x^2\,dx

). Así el logaritmo desaparece y queda una integral inmediata.

Desarrollo

a) División. Dividimos

x^3 + 2x^2 + x - 10

entre

x^2 + x - 2

x^3 + 2x^2 + x - 10 = (x^2 + x - 2)(x + 1) + (2x - 8)

(en efecto,

(x^2 + x - 2)(x + 1) = x^3 + 2x^2 - x - 2

, y la diferencia con el numerador es

2x - 8

). Por tanto

\frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} = x + 1 + \frac{2x - 8}{x^2 + x - 2}.

Fracciones simples.

x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

\frac{2x - 8}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} \;\Longrightarrow\; 2x - 8 = A(x + 2) + B(x - 1).

Con $x = 1$ : $-6 = 3A \Rightarrow A = -2$ .
Con $x = -2$ : $-12 = -3B \Rightarrow B = 4$ .

Integración:

\int \frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2}\,dx = \int \left(x + 1 - \frac{2}{x - 1} + \frac{4}{x + 2}\right) dx = \frac{x^2}{2} + x - 2\ln|x - 1| + 4\ln|x + 2| + C.

Comprobación derivando:

x + 1 - \frac{2}{x-1} + \frac{4}{x+2} = x + 1 + \frac{-2(x+2) + 4(x-1)}{(x-1)(x+2)} = x + 1 + \frac{2x - 8}{x^2 + x - 2}

✓.

b) Por partes,

\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con

u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = x^2\,dx \Rightarrow v = \frac{x^3}{3}.

\int x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C.

Comprobación derivando:

x^2 \ln x + \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x} - \frac{3x^2}{9} = x^2\ln x + \frac{x^2}{3} - \frac{x^2}{3} = x^2 \ln x

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, divide antes de buscar fracciones simples: si no, la descomposición no sale. Y pon los valores absolutos en los logaritmos.

En b) la elección es siempre $u = \ln x$ : si intentas integrar el logaritmo te complicas. No olvides la constante $C$ en las dos; derivar el resultado es la mejor comprobación.