Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Halla razonadamente las dimensiones más económicas de una piscina de

32\ \text{m}^3

con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y el suelo necesiten la cantidad mínima de material. (2,5 puntos)

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Resultado

\boxed{\;\text{Fondo cuadrado de } 4\ \text{m} \times 4\ \text{m},\ \text{profundidad } 2\ \text{m}\ \ (S_{\min} = 48\ \text{m}^2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La piscina es una caja sin tapa: un suelo cuadrado de lado

x

y cuatro paredes rectangulares de altura

h

. Lo que hay que minimizar es la superficie de material, suelo más paredes. Tiene dos variables, pero el volumen fijo (

32\ \text{m}^3

) las relaciona: despejamos

h

en función de

x

, la sustituimos y nos queda una función de una sola variable que derivamos e igualamos a cero. Al final comprobamos que el punto es un mínimo.

Desarrollo

Variables.

x

= lado del fondo cuadrado (m),

h

= profundidad (m), con

x > 0

h > 0

.

Condición (volumen):

V = x^2 h = 32 \;\Longrightarrow\; h = \frac{32}{x^2}.

Función a minimizar (suelo + cuatro paredes; la piscina no tiene tapa):

S = x^2 + 4xh = x^2 + 4x\cdot\frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}, \qquad x > 0.

Derivada e igualación a cero:

S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2} = \frac{2x^3 - 128}{x^2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^3 = 64 \;\Longrightarrow\; x = 4.

Es un mínimo. Con la derivada segunda:

S''(x) = 2 + \frac{256}{x^3}, \qquad S''(4) = 2 + \frac{256}{64} = 6 > 0.

Además, el signo de

S'

es el de

2x^3 - 128

: negativo para

0 < x < 4

y positivo para

x > 4

S

decrece y luego crece, así que en

x = 4

hay un mínimo absoluto en

(0, +\infty)

.

Dimensiones.

x = 4

m y

h = \dfrac{32}{16} = 2

m. La superficie mínima es

S(4) = 16 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48\ \text{m}^2.

Comprobación: volumen

4\cdot 4\cdot 2 = 32\ \text{m}^3

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una piscina no tiene tapa: la superficie es $x^2 + 4xh$ , no $2x^2 + 4xh$ . Con la tapa saldría un cubo de lado $\sqrt[3]{32}$ , que es otro problema.

No te quedes en $S'(x) = 0$ : justifica que es un mínimo (derivada segunda o signo de $S'$ ) y da las dos dimensiones con unidades, que es lo que pide el enunciado.

Paso 1 de 3

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