Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

a) En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar componentes electrónicos en placas de circuito impreso. El 25 % de los componentes son soldados por el robot A, el 20 % por el B y el 55 % por el C. Se sabe que la probabilidad de que una placa tenga un defecto de soldadura es de

0{,}03

si ha sido soldado por el robot A,

0{,}04

por el robot B y

0{,}02

por el robot C.

a1) Elegida una placa al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura. (0,75 puntos)

a2) Se escoge al azar una placa y resulta tener un defecto de soldadura, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C. (0,5 puntos)

b) Lanzamos cinco veces una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara es

0{,}6

. Calcula razonadamente la probabilidad de:

b1) Obtener exactamente tres caras. (0,75 puntos)

b2) Obtener más de tres caras. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial

B(5, p)

para

p \leq 0{,}5

)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a1)}\ P(D) = 0{,}0265 \qquad \text{a2)}\ P(C \mid D) = \frac{22}{53} \approx 0{,}4151\;}

\boxed{\;\text{b1)}\ P(X = 3) = 0{,}3456 \qquad \text{b2)}\ P(X > 3) \approx 0{,}3370\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Los tres robots forman una partición (cada placa la suelda uno y solo uno), y conocemos la probabilidad de defecto condicionada a cada robot. Un árbol con los robots en la primera rama y «defecto / sin defecto» en la segunda lo ordena todo: a1) es el teorema de la probabilidad total y a2) el teorema de Bayes (vamos «hacia atrás», del defecto al robot).

b) El número de caras en cinco lanzamientos independientes con la misma probabilidad de cara es una binomial

X \sim B(5;\ 0{,}6)

. La fórmula

P(X = k) = \binom{5}{k} p^k q^{5-k}

basta; si se quiere usar la tabla, que solo llega a

p = 0{,}5

, se cuentan las cruces:

Y = 5 - X \sim B(5;\ 0{,}4)

Desarrollo

a) Sucesos:

A

B

C

= «la placa la ha soldado el robot A, B, C» y

D

= «la placa tiene un defecto de soldadura». Datos:

Robot	$P(\text{robot})$	$P(D \mid \text{robot})$	$P(\text{robot} \cap D)$
A	$0{,}25$	$0{,}03$	$0{,}25\cdot 0{,}03 = 0{,}0075$
B	$0{,}20$	$0{,}04$	$0{,}20\cdot 0{,}04 = 0{,}0080$
C	$0{,}55$	$0{,}02$	$0{,}55\cdot 0{,}02 = 0{,}0110$

a1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(D) = P(A)P(D \mid A) + P(B)P(D \mid B) + P(C)P(D \mid C) = 0{,}0075 + 0{,}008 + 0{,}011 = 0{,}0265

a2) Por el teorema de Bayes:

P(C \mid D) = \frac{P(C)\,P(D \mid C)}{P(D)} = \frac{0{,}011}{0{,}0265} = \frac{22}{53} \approx 0{,}4151

Aunque C es el robot que menos falla, como suelda más de la mitad de las placas es el responsable de algo más del 41 % de los defectos.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Sea

X

= «número de caras en los cinco lanzamientos». Los lanzamientos son independientes y en cada uno

P(\text{cara}) = p = 0{,}6

, así que

X \sim B(5;\ 0{,}6)

, con

q = 1 - p = 0{,}4

P(X = k) = \binom{5}{k}\,0{,}6^k\,0{,}4^{5-k}, \qquad k = 0, 1, \ldots, 5.

b1)

P(X = 3) = \binom{5}{3}\,0{,}6^3\,0{,}4^2 = 10\cdot 0{,}216\cdot 0{,}16 = 0{,}3456

b2) «Más de tres caras» es

X = 4

X = 5

P(X = 4) = \binom{5}{4}\,0{,}6^4\,0{,}4 = 5\cdot 0{,}1296\cdot 0{,}4 = 0{,}2592

P(X = 5) = 0{,}6^5 = 0{,}07776

P(X > 3) = 0{,}2592 + 0{,}07776 = 0{,}33696 \approx 0{,}3370

Con la tabla. La tabla trae

p \leq 0{,}5

, así que contamos cruces:

Y = 5 - X \sim B(5;\ 0{,}4)

. Entonces

P(X = 3) = P(Y = 2) = 0{,}3456

P(X > 3) = P(Y \leq 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) = 0{,}0778 + 0{,}2592 = 0{,}3370

, los mismos valores ✓.

Consejo

En a2) el denominador es $P(D)$ , la probabilidad total de a1), no $0{,}02$ : confundir $P(C \mid D)$ con $P(D \mid C)$ es el error típico de Bayes.

En b) la tabla no tiene $p = 0{,}6$ : no busques en la columna $0{,}40$ el mismo $k$ , sino el complementario ( $3$ caras son $2$ cruces). Y «más de tres» no incluye el $3$ .