Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Dados los planos

\alpha \equiv -x + 2y + z + 2 = 0

\beta \equiv -2y + z = 0

a) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos de intersección del plano

\alpha

con los tres ejes coordenados. (1,5 puntos)

b) Encuentra razonadamente la ecuación general o implícita de la recta paralela a los planos

\alpha

\beta

que pase por el punto

P(0, -1, 3)

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ V = \frac{2}{3}\ \text{u}^3\;}

\boxed{\;\text{b)}\ r \equiv \left\{\begin{array}{l} -x + 2y + z - 1 = 0 \\ -2y + z - 5 = 0 \end{array}\right.\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Cortar un plano con un eje es anular las otras dos coordenadas. Con los tres puntos de corte y el origen tenemos el tetraedro; su volumen es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que salen del origen (aquí, como están sobre los ejes, el producto mixto es un simple producto de tres números).

b) Una recta es paralela a un plano si está contenida en un plano paralelo a él. Así que la recta buscada es la intersección del plano paralelo a

\alpha

por

P

y del plano paralelo a

\beta

por

P

: eso ya es su ecuación implícita (dos ecuaciones).

Desarrollo

a) Puntos de corte de $\alpha$ con los ejes:

Eje $X$ ( $y = z = 0$ ): $-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Punto $A(2, 0, 0)$ .
Eje $Y$ ( $x = z = 0$ ): $2y + 2 = 0 \Rightarrow y = -1$ . Punto $B(0, -1, 0)$ .
Eje $Z$ ( $x = y = 0$ ): $z + 2 = 0 \Rightarrow z = -2$ . Punto $C(0, 0, -2)$ .

Volumen. Con

\vec{OA} = (2, 0, 0)

\vec{OB} = (0, -1, 0)

\vec{OC} = (0, 0, -2)

\left[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\right] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1)\cdot(-2) = 4

V = \frac{1}{6}\left|\left[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\right]\right| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\ \text{u}^3

Comprobación con «área de la base por altura entre tres»: la base es el triángulo rectángulo

OAB

, de área

\frac{2\cdot 1}{2} = 1

, y la altura es

|OC| = 2

, así que el volumen es

\frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}

, el mismo ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Plano paralelo a $\alpha$ por $P$ . Tiene el mismo vector normal,

(-1, 2, 1)

-x + 2y + z + D = 0

. Imponiendo que pase por

P(0, -1, 3)

0 - 2 + 3 + D = 0 \Rightarrow D = -1 \quad\Longrightarrow\quad -x + 2y + z - 1 = 0.

Plano paralelo a $\beta$ por $P$ . Mismo normal

(0, -2, 1)

-2y + z + D' = 0

, y con

P

2 + 3 + D' = 0 \Rightarrow D' = -5 \quad\Longrightarrow\quad -2y + z - 5 = 0.

La recta pedida es la intersección de los dos:

r \equiv \left\{\begin{array}{l} -x + 2y + z - 1 = 0 \\ -2y + z - 5 = 0 \end{array}\right.

Comprobación. Los normales

(-1, 2, 1)

(0, -2, 1)

no son proporcionales, así que los dos planos se cortan en una recta. Su vector director es

\vec{u} = (-1, 2, 1) \times (0, -2, 1) = (2\cdot 1 - 1\cdot(-2),\ 1\cdot 0 - (-1)\cdot 1,\ (-1)(-2) - 2\cdot 0) = (4, 1, 2),

perpendicular a los dos normales:

(4,1,2)\cdot(-1,2,1) = -4 + 2 + 2 = 0, \qquad (4,1,2)\cdot(0,-2,1) = -2 + 2 = 0,

luego

r

es paralela a

\alpha

y a

\beta

. Y

P

cumple las dos ecuaciones:

0 - 2 + 3 - 1 = 0

2 + 3 - 5 = 0

Consejo

En a), no olvides el $\frac{1}{6}$ del tetraedro (con el producto mixto solo tendrías el paralelepípedo) ni el valor absoluto: las coordenadas negativas de los cortes no dan volúmenes negativos.

En b) piden la ecuación implícita: el camino de los dos planos paralelos por $P$ la da directamente, sin calcular el director. Si la das en continua, pásala a implícitas.