Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 0 \end{array}\right)$$Determinante (Sarrus):$$|A| = a^3 + 1 + 1 - a - a - a = a^3 - 3a + 2.$$$a = 1$ es raíz ($1 - 3 + 2 = 0$). Por Ruffini, $a^3 - 3a + 2 = (a - 1)(a^2 + a - 2) = (a-1)(a-1)(a+2)$:$$|A| = (a - 1)^2 (a + 2) = 0 \iff a = 1 \ \text{ o } \ a = -2.$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq -2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg} A = 3 = \operatorname{rg} A^* =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 1$. Las tres filas de $A$ son $(1, 1, 1)$, así que $\operatorname{rg} A = 1$. En la ampliada,$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right), \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg} A^* = 2.$$$\operatorname{rg} A = 1 \neq 2 = \operatorname{rg} A^*$: sistema incompatible. (Se ve también a ojo: la primera ecuación dice $x + y + z = 1$ y la segunda $x + y + z = 0$.)

Caso $a = -2$. $|A| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0$, así que $\operatorname{rg} A = 2$. En la ampliada orlamos con la columna de términos independientes (columnas de $x$, $y$ y términos independientes):$$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 + 2) = 3 \neq 0$$(desarrollando por la tercera columna). Luego $\operatorname{rg} A^* = 3 \neq 2 = \operatorname{rg} A$: sistema incompatible. (A ojo: sumando las tres ecuaciones con $a = -2$ queda $0 = 1$.)

Resumen:

b) Para $a = 0$ estamos en el caso compatible determinado ($|A| = (0-1)^2(0+2) = 2 \neq 0$). El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} y + z = 1 \\ x + z = 0 \\ x + y = 0 \end{array}\right.$$De la tercera, $x = -y$; llevándolo a la segunda, $z = -x = y$. En la primera: $y + y = 1$, así que $y = \frac{1}{2}$, y entonces $x = -\frac{1}{2}$, $z = \frac{1}{2}$.

Comprobación en las tres ecuaciones:$$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1, \qquad -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 0, \qquad -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 0$$Las tres se cumplen ✓.