Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

También trata: Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

a) Calcula razonadamente el área de la región determinada por la curva

f(x) = (x-1)(x+2)

, las rectas

x = -3

x = 2

y el eje de abscisas. Esboza dicha región. (1,5 puntos)

b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f(x)

en el punto de abscisa

x = 2

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ A = \frac{11}{6} + \frac{9}{2} + \frac{11}{6} = \frac{49}{6}\ \text{u}^2\;}

\boxed{\;\text{b)}\ y = 5x - 6\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función es una parábola que corta al eje

X

x = 1

x = -2

(se ve directamente en la forma factorizada). Las dos raíces caen dentro del intervalo

[-3, 2]

, así que la región tiene tres trozos: por encima del eje en

[-3, -2]

, por debajo en

[-2, 1]

y otra vez por encima en

[1, 2]

.

El área no es la integral de

-3

2

sin más (los trozos de debajo restarían): hay que partir la integral en las raíces y sumar los valores absolutos de cada tramo.

Para la tangente basta con la fórmula

y - f(a) = f'(a)(x - a)

a = 2

Desarrollo

a) Desarrollando,

f(x) = (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2

.

Cortes con el eje $X$ :

f(x) = 0 \iff x = 1

x = -2

, las dos dentro de

[-3, 2]

.

Esbozo. Es una parábola con las ramas hacia arriba y vértice en

x_v = -\frac{1}{2}

f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{9}{4}

. Por tanto:

Tramo	$[-3, -2]$	$[-2, 1]$	$[1, 2]$
Signo de $f$	$+$ (p. ej. $f(-3) = 4$ )	$-$ (p. ej. $f(0) = -2$ )	$+$ (p. ej. $f(2) = 4$ )
Posición	sobre el eje	bajo el eje	sobre el eje

La región está formada por dos «lóbulos» pequeños por encima del eje en los extremos y uno grande por debajo en el centro, con la parábola pasando por

(-3, 4)

(-2, 0)

\left(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}\right)

(1, 0)

(2, 4)

.

Primitiva:

F(x) = \int (x^2 + x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x

con

F(-3) = -9 + \frac{9}{2} + 6 = \frac{3}{2}

F(-2) = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = \frac{10}{3}

F(1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = -\frac{7}{6}

F(2) = \frac{8}{3} + 2 - 4 = \frac{2}{3}

.

Integrales de cada tramo (regla de Barrow):

\int_{-3}^{-2} f(x)\,dx = F(-2) - F(-3) = \frac{10}{3} - \frac{3}{2} = \frac{11}{6}

\int_{-2}^{1} f(x)\,dx = F(1) - F(-2) = -\frac{7}{6} - \frac{10}{3} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2}

\int_{1}^{2} f(x)\,dx = F(2) - F(1) = \frac{2}{3} + \frac{7}{6} = \frac{11}{6}

El tramo central sale negativo, como esperábamos. El área es la suma de los valores absolutos:

A = \frac{11}{6} + \left|-\frac{9}{2}\right| + \frac{11}{6} = \frac{11 + 27 + 11}{6} = \frac{49}{6}\ \text{u}^2 \approx 8{,}17\ \text{u}^2

(Si se integrara de

-3

2

de golpe saldría

\frac{11}{6} - \frac{9}{2} + \frac{11}{6} = -\frac{5}{6}

, que no es un área.)

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b) La recta tangente en

x = 2

y - f(2) = f'(2)(x - 2)

$f(2) = (2-1)(2+2) = 4$ .
$f'(x) = 2x + 1$ , luego $f'(2) = 5$ .

y - 4 = 5(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = 5x - 6

Comprobación: en

x = 2

la recta da

y = 10 - 6 = 4 = f(2)

✓.

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Consejo

El error más caro es calcular $\int_{-3}^{2} f(x)\,dx = -\frac{5}{6}$ y dar eso (o su valor absoluto) como área: los tramos de arriba y de abajo se compensan. Busca siempre las raíces dentro del intervalo, parte la integral en ellas y suma valores absolutos.

El enunciado pide esbozar la región: un dibujo con las raíces, el vértice y los tres trozos sombreados suele puntuar y además te dice qué tramos salen negativos.