Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Por el teorema de Pitágoras sabemos que $a^2 = x^2 + h^2$. Como el volumen del cono vale $120\ \text{cm}^3$, por la fórmula del volumen tenemos$$120 = \frac{\pi \cdot x^2 \cdot h}{3}$$y aislando, obtenemos $x^2 = \frac{360}{\pi} \cdot \frac{1}{h}$. Sustituyendo $x^2$ en la expresión inicial, se obtiene la fórmula buscada.

b) La longitud de la arista es una función positiva y tenemos la longitud al cuadrado expresada como función de $h$; por tanto, es suficiente con encontrar los mínimos de la función$$f(h) = \frac{360}{\pi} \cdot \frac{1}{h} + h^2$$cuando $h \in (0, \infty)$. Tenemos$$f'(h) = 2h - \frac{360}{\pi} \cdot \frac{1}{h^2}$$por tanto, al igualar $F'(h) = 0$, se obtiene $2h = \frac{360}{\pi} \cdot \frac{1}{h^2}$, $h^3 = \frac{180}{\pi}$ y $\boxed{h = \sqrt[3]{\frac{180}{\pi}} \simeq 3{,}86\ \text{cm}}$.

Se comprueba que es un mínimo, ya que $f'(x) < 0$ cuando $x \in \left(0, \sqrt[3]{\frac{180}{\pi}}\right)$ y $f'(x) > 0$ cuando $x \in \left(\sqrt[3]{\frac{180}{\pi}}, \infty\right)$.

Alternativamente, se puede trabajar con la función$$a(h) = \sqrt{\frac{360}{\pi} \cdot \frac{1}{h} + h^2}$$y se obtiene como derivada$$a'(h) = \frac{h - \dfrac{180}{\pi} \cdot \dfrac{1}{h^2}}{\sqrt{\dfrac{360}{\pi} \cdot \dfrac{1}{h} + h^2}}$$El desarrollo del problema es el mismo a partir de aquí.

Pautas de corrección:

a)

0,25 p. por la aplicación del teorema de Pitágoras.

0,25 p. por la igualdad derivada del volumen.

0,25 p. por aislar la $x$.

0,25 p. por la sustitución final.

b)

0,25 p. por la argumentación de la función que hay que minimizar.

0,25 p. por la derivada de la función.

0,25 p. por el punto singular (en forma radical o con la expresión decimal).

0,25 p. por la clasificación del punto singular (como en la propuesta de resolución o a partir del signo de la derivada segunda).