Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Cataluña · 2017 · Junio

Enunciado

Considere las matrices cuadradas de orden 2 de la forma

M = \begin{pmatrix} x & -1 \\ y^2 + 1 & x \end{pmatrix}

, con

x

y

números reales.

a) (1 punto) Compruebe que la matriz

M

es siempre invertible, independientemente de los valores de

x

y de

y

.

b) (1 punto) Para

x = 1

y = -1

, calcule

M^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|M| = x^2 + y^2 + 1 \geq 1 > 0

para cualesquiera

x

y

, así que

M

es siempre invertible.

b)

M^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Para comprobar que una matriz

M = \begin{pmatrix} x & -1 \\ y^2 + 1 & x \end{pmatrix}

es invertible es suficiente comprobar que su determinante es siempre diferente de 0.

Efectivamente,

|M| = x^2 - (-1)(y^2 + 1) = x^2 + y^2 + 1

, que es siempre diferente de 0, ya que

x^2 + y^2 \geq 0

al ser suma de dos cuadrados, independientemente del valor que tengan las variables

x

y

.

a) Para

x = 1

y = -1

, tenemos

M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

.

Tendremos

M^{-1} = \frac{1}{|M|}(\text{Adj}M)^t = \boxed{\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}

.

Pautas de corrección:

a)

0,5 p. por el planteamiento a partir del determinante no nulo (o del rango 2).

0,5 p. por probar que el determinante es siempre diferente de 0.

b)

0,25 p. por la expresión de