Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Para que tenga solución única hará falta que el sistema sea compatible y determinado; es decir, que $\text{rang}M = \text{rang}M' = 3$

con$$(M|M') = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 0 & 1 \\ 1 & 0 & a & 1 \\ 0 & 1 & 1 & a \end{array}\right)$$$$\begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -2a$$Para que $\text{rang}M = 3$ hace falta que $\text{Det } M \neq 0 \iff a \neq 0$

Esto quiere decir que el sistema es compatible y determinado siempre que $a \neq 0$.

b) Por Cramer:$$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & 0 & a \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-2a} = \frac{a^3 - 2a}{-2a} = \frac{2 - a^2}{2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a \\ 0 & a & 1 \end{vmatrix}}{-2a} = \frac{1 - a^2 - 1}{-2a} = \frac{a}{2} \quad\text{y}$$$$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{vmatrix}}{-2a} = \frac{1 - 1 - a^2}{-2a} = \frac{a}{2}$$Por tanto, la solución del sistema (en función del parámetro $a$) es: $\boxed{\left(\frac{2 - a^2}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)}$

Pautas de corrección:

a)

0,25 p. por la condición de Rouché-Frobënius.

0,25 p. por el determinante de la asociada.

0,25 p. por el valor singular.

0,25 p. por el razonamiento final.

b)

0,25 p. por la aplicación de la regla de Cramer o método equivalente.

0,25 p. por el cálculo de la $x$.

0,25 p. por el cálculo de la $y$.

0,25 p. por el cálculo de la $z$.