Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La respuesta depende del signo de $k$.

• Si $k < 0$, entonces $x^2 - k > 0$ para cualquier valor de $x$ y, por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$ y la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - k}$ es continua porque no se anula el denominador y no tiene ninguna asíntota vertical. Como $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - k} = 0$, la función tiene una asíntota horizontal en el eje de las $x$, $y = 0$.
• Si $k > 0$, entonces $x^2 - k$ se anula para los valores $\pm\sqrt{k}$ y, por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{\pm\sqrt{k}\}$ y la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - k}$ tendrá dos asíntotas verticales, en $x = +\sqrt{k}$ y en $x = -\sqrt{k}$. Como $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - k} = 0$, la función tiene una asíntota horizontal en el eje de las $x$, $y = 0$.

b) $f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 - k)^2} = 0$ si $x = 0$, con independencia del valor de $k$.$$f''(x) = \frac{(-2)(x^2 - k)^2 - (-2x)\,2(x^2 - k)\,2x}{(x^2 - k)^4} = \frac{(-2)(x^2 - k) + 8x^2}{(x^2 - k)^3} = \frac{6x^2 + 2k}{(x^2 - k)^3}$$Como $f''(0) = \dfrac{-2}{k^2} < 0$,

$f$, por tanto, tiene un máximo relativo en el punto $\left(0, \dfrac{-1}{k}\right)$ y no tiene mínimos relativos.

Observación: En lugar de usar el signo de la derivada segunda también se puede ver el crecimiento o decrecimiento de la función $f$ en el entorno de $x = 0$.

Pautas de corrección:

a)

0,25 p. por el dominio y no AV cuando $k < 0$.

0,25 p. por el dominio y AV cuando $k > 0$.

0,25 p. por la AH cuando $k < 0$.

0,25 p. por la AH cuando $k > 0$.

b)

0,25 p. por la derivada primera.

0,25 p. por el punto singular.

0,25 p. por la derivada segunda o el razonamiento equivalente sobre el crecimiento o decrecimiento.

0,25 p. por la clasificación del punto y la respuesta final.