Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Si el plano tiene que ser perpendicular a los dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$, entonces su vector normal, $n = (A, B, C)$, tendrá que ser perpendicular a los respectivos vectores normales $n_1 = (5, -1, -7)$ y $n_2 = (2, 3, 1)$.

Así pues,$$n = n_1 \times n_2 = \begin{vmatrix} i & 5 & 2 \\ j & -1 & 3 \\ k & -7 & 1 \end{vmatrix} = (20, -19, 17).$$El plano tendrá la forma $20x - 19y + 17z = D$, pero si tiene que pasar por el origen de coordenadas $(0,0,0)$, entonces $D = 0$ y el plano buscado será $\boxed{20x - 19y + 17z = 0}$.

b) El ángulo entre los dos planos será el ángulo que formen los respectivos vectores normales. Así pues:$$\boxed{\alpha} = \alpha(\pi_1, \pi_2) = \alpha(n_1, n_2) = \alpha\big((5, -1, -7), (2, 3, 1)\big) = \arccos \frac{n_1 \cdot n_2}{\lVert n_1 \rVert \cdot \lVert n_2 \rVert} =$$$$= \arccos \frac{10 - 3 - 7}{\lVert n_1 \rVert \cdot \lVert n_2 \rVert} = \arccos 0 = \boxed{90^\circ = \frac{\pi}{2}\,\text{rad}}.$$Los dos planos son perpendiculares.

Pautas de corrección:

a)

0,25 p. por el planteamiento de perpendicularidad entre vectores normales.

0,25 p. por el producto vectorial.

0,25 p. por la forma inicial del plano.

0,25 p. por la ecuación final del plano.

b)

0,25 p. por el ángulo a partir del ángulo entre los vectores normales.

0,25 p. por la formulación del ángulo.

0,25 p. por el producto escalar.

0,25 p. por la perpendicularidad (o el ángulo de $90^\circ$, sin indicar perpendicularidad).