Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Estudie para qué valores de $\lambda$ el sistema es incompatible.$$M|\overline{M} = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 10 \\ 2\lambda & -1 & 5\lambda & 30 \end{array}\right)$$$$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2\lambda & -1 & 5\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 5\lambda + 2 \end{vmatrix} = \lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 5\lambda + 2 \end{vmatrix} = \lambda(5\lambda + 5) = 5\lambda(\lambda + 1)$$CASO I: Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq -1$$$\text{Rango } M = \text{Rango } \overline{M} = \text{núm. incóg.} = 3$$En virtud del teorema de Rouché-Frobënius, en este caso el sistema es compatible determinado.

CASO II: Si $\lambda = 0$$$M|\overline{M} = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 10 \\ 0 & -1 & 0 & 30 \end{array}\right)$$$$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0\ ,\qquad \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{Rango } M = 2$$$$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 10 \\ -1 & 0 & 30 \end{vmatrix} = 70 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{Rango } \overline{M} = 3$$$$\text{Rango } M \neq \text{Rango } \overline{M}$$En virtud del teorema de Rouché-Frobënius, el sistema es incompatible.

CASO III: $\lambda = -1$$$M|\overline{M} = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 10 \\ -2 & -1 & -5 & 30 \end{array}\right)$$$$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0\ ,\qquad \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \end{vmatrix} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{Rango } M = 2$$$$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 10 \\ -1 & -5 & 30 \end{vmatrix} = 120 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{Rango } \overline{M} = 3$$$$\text{Rango } M = 2 \qquad \text{Rango } \overline{M} = 3$$$$\text{Rango } M \neq \text{Rango } \overline{M}$$En virtud del teorema de Rouché-Frobënius, el sistema es incompatible.

El sistema es incompatible para dos valores del parámetro $\lambda$: $\lambda = 0$ y $\lambda = -1$.

b) Resuelva el sistema para $\lambda = 1$.$$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ y + z = 10 \\ 2x - y + 5z = 30 \end{cases}$$En este caso el sistema es compatible determinado, tiene una única solución y el sistema se puede resolver por cualquier método conocido, por ejemplo, por el método de Gauss:$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 10 \\ 2 & -1 & 5 & 30 \end{array}\right) \approx \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 10 \\ 0 & -3 & 7 & 30 \end{array}\right) \approx \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 10 & 60 \end{array}\right)$$De la tercera ecuación, tenemos $10z = 60$; por tanto, $z = 6$.

De la segunda ecuación, tenemos $y + z = 10$; por tanto, $y = 4$.

De la primera ecuación, tenemos $x + y - z = 0$; por tanto, $x = 2$.

Solución: $(x = 2\ ,\ y = 4\ ,\ z = 6)$.

Pautas de corrección:

a)

0,25 p. por el determinante de la matriz de coeficientes y por los valores críticos.

0,25 p. por la discusión del caso $\lambda = -1$.

0,25 p. por la discusión del caso $\lambda = 0$.

0,25 p. por la respuesta a la pregunta.

b)

0,25 p. por el sistema particular (y la indicación de SCD, si es el caso, que no es necesaria).

0,25 p. por el valor de la $x$.

0,25 p. por el valor de la $y$.

0,25 p. por el valor de la $z$.