Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)$$\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}\,dx = \int \frac{-dt}{t^2} = -\int t^{-2}\,dt = \frac{1}{t} + C = \boxed{\frac{1}{\cos x} + C}$$La primitiva es casi inmediata o podemos ensayar el cambio de variable $\cos x = t$:$$\begin{aligned} \cos x &= t \\ -\operatorname{sen} x\,dx &= dt \\ \operatorname{sen} x\,dx &= -dt \end{aligned}$$Observación: Como en el enunciado se pide «una» primitiva, el ejercicio se dará por bien resuelto con o sin la constante de integración.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la formulación del cambio de variable.
• 0,25 p. por la aplicación del cambio de variable.
• 0,25 p. por la integral directa (con o sin la constante de integración).
• 0,25 p. por deshacer el cambio de variable.

b) La función seno es positiva en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Dado que el denominador de la función está elevado al cuadrado, es también positivo en todo el intervalo. La función es, por tanto, positiva y el área pedida es:$$\text{Área} = \int_0^{\pi/4} \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}\,dx = \left[\frac{1}{\cos x}\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{\cos\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} - 1 =$$$$\boxed{\frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = 0{,}414\ u^2}$$Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la positividad del integrando y el planteamiento de la integral.
• 0,25 p. por la primitiva.
• 0,25 p. por la aplicación de la regla de Barrow.
• 0,25 p. por el cálculo final (en cualquiera de las formas indicadas).