Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) $\pi$ perpendicular a $r$ tiene por vector normal el vector director de $r$:$$\vec n = \vec v_r = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (2, -1, 2).$$Y si ha de pasar por $P(0, 1, -1)$ $\;\to\; \pi\colon 2x - y + 2z = D \;\to\; -1 - 2 = D \;\to\; D = -3 \;\to\; \boxed{\pi\colon 2x - y + 2z = -3}$

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por el cálculo del vector normal al plano.
• 0,25 p. por la forma de ecuación del plano.
• 0,25 p. por la obtención de $D$.
• 0,25 p. por la ecuación general del plano.

b) Hemos de calcular primero la recta perpendicular al plano $x + y + z = -3$ y que pasa por $P$. El vector normal del plano, $(1, 1, 1)$, será el vector director de la recta y, por tanto, la recta será $(x, y, z) = (t,\ 1 + t,\ -1 + t)$.

Habrá que buscar ahora el punto de intersección de la recta $(x, y, z) = (t,\ 1 + t,\ -1 + t)$ con el plano $x + y + z = -3$.

Si sustituimos un punto genérico de la recta en el plano obtenemos:$$\begin{aligned} t + 1 + t - 1 + t &= -3 \\ 3t &= -3 \\ t &= -1 \end{aligned}$$Por tanto, el punto intersección es $Q = (-1, 0, -2)$ y el punto simétrico será$$P' = P + 2\cdot\overrightarrow{PQ} = (0, 1, -1) + 2\cdot(-1, -1, -1) = \boxed{(-2, -1, -3)}$$Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la ecuación de la recta perpendicular.
• 0,25 p. por el punto intersección de la recta y el plano.
• 0,25 p. por la formulación del punto simétrico.
• 0,25 p. por el cálculo final.