Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Del enunciado tenemos que $4x^3 - 9x^2 - 2x + 1$ es la función derivada de $f(x)$. Por tanto, $f(x)$ será una primitiva de $4x^3 - 9x^2 - 2x + 1$.

Calculamos el conjunto de primitivas de $4x^3 - 9x^2 - 2x + 1$:$$\int (4x^3 - 9x^2 - 2x + 1)\,dx = x^4 - 3x^3 - x^2 + x + C$$Sabemos que $f(0) = 2$ (o que $f(1) = 0$). Por tanto,

$f(0) = C = 2$ y la función buscada es $f(x) = x^4 - 3x^3 - x^2 + x + 2$.

Observación: El ejercicio se puntuará como correcto tanto si se utiliza solo uno de los dos puntos ($x = 0$ o $x = 1$) para determinar la constante $C$ como si se utilizan los dos (buscando una cierta coherencia de los datos del enunciado).

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por identificar que nos dan $f'$.
• 0,25 p. por la expresión general de la primitiva.
• 0,25 p. por el valor de la constante de integración.
• 0,25 p. por la expresión final de $f(x)$.

b)

Aplicando la regla de la cadena para la derivada de una composición de funciones tenemos:$$(g \circ f)'(1) = g'\big(f(1)\big)\cdot f'(1)$$Por las tablas de valores sabemos que $f(1) = 0$, que $f'(1) = -6$ y que $g'(0) = 1$. Entonces,$$(g \circ f)'(1) = g'\big(f(1)\big)\cdot f'(1) = g'(0)\cdot f'(1) = 1\cdot(-6) = -6.$$Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la formulación de la regla de la cadena.
• 0,25 p. por $f'(1)$.
• 0,25 p. por $g'(0)$.
• 0,25 p. por el cálculo final.