Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

La matriz de coeficientes y la ampliada, $A$ y $A'$, son las siguientes:$$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & a & 0 & 2a \end{array}\right)$$(las tres primeras columnas forman $A$).

Calculamos cuándo $\det(A) = 0$:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & a & 0 \end{vmatrix} = 2a - 4,$$que se anula solo para $a = 2$. Así pues, tenemos dos casos:

Caso $a = 2$$$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 4 \end{array}\right)$$Se observa que las dos primeras columnas son iguales. Por tanto, todos los menores que las incluyan valdrán cero. Además, el determinante$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$$también vale cero; por tanto, $\operatorname{rang}(A') < 3$. Como el menor de $A$ $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \neq 0$, entonces $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A') = 2 < 3$ número de incógnitas y, por tanto, es un SCI con 1 (= 3 − 2) grado de libertad.

Caso $a \neq 2$. $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A') = 3 =$ número de incógnitas. Por tanto, es un SCD.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por el planteamiento matricial.
• 0,25 p. por el determinante de la matriz asociada y el valor crítico.
• 0,25 p. por el caso $a = 2$.
• 0,25 p. por el caso $a \neq 2$.

b) Para el caso $a = 2$ sabemos que se trata de un sistema compatible indeterminado con una incógnita libre y equivalente a$$\left.\begin{aligned} x - z &= 1 - y \\ x &= 2 - y \end{aligned}\right\}$$Por tanto, si tomamos la incógnita $y$ como parámetro, obtenemos $x = 2 - y$ y $z = x + y - 1 = 2 - y + y - 1 = 1$. Así, la solución es de la forma $\boxed{(2 - y,\ y,\ 1)}$ para cualquier valor del parámetro o variable $y$.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por el sistema reducido.
• 0,25 p. por la expresión de una primera incógnita.
• 0,25 p. por la expresión de la segunda incógnita.
• 0,25 p. por la expresión general del SCI (tanto si se deja la $x$ como la $y$ como parámetro o incógnita libre).