Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Cataluña · 2017 · Septiembre
Enunciado
Sean las matricesA=(1110−211−11)yB=(34−1−1−430−44).A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad B = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\ -1 & -4 & 3 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}.a) (1 punto) Compruebe que satisfacen la igualdad A2−12A⋅B=IA^2 - \dfrac{1}{2}A\cdot B = I, donde II es la matriz identidad de orden 3.

b) (1 punto) Haciendo uso de la anterior igualdad, encuentre la matriz inversa de AA: A−1A^{-1}.
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Resultado
a) A2−12A⋅B=IA^2 - \dfrac{1}{2}A\cdot B = I (comprobado).

b) A−1=A−12B=12(−1−2310−122−2)A^{-1} = A - \dfrac{1}{2}B = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) Solo hay que hacer las operaciones.A2−12A⋅B=(1110−211−11)(1110−211−11)−12(1110−211−11)(34−1−1−430−44)=A^2 - \frac{1}{2}A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\ -1 & -4 & 3 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix} ==(2−2313−1221)−12(2−4624−2440)=(100010001).= \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 2 & 4 & -2 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.Pautas de corrección:
  • 0,25 p. por el cálculo de A2A^2.
  • 0,25 p. por el cálculo de ABAB.
  • 0,5 p. por el cálculo final.
b) Sacando factor común AA por la izquierda: A⋅(A−12B)=IA\cdot\left(A - \dfrac{1}{2}B\right) = I, así que A−1=A−12BA^{-1} = A - \dfrac{1}{2}B.

Operando, deducimos queA−1=(−1/2−13/21/20−1/211−1)=12(−1−2310−122−2).\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & -1 & 3/2 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}}.Pautas de corrección:
  • 0,25 p. por la descomposición factorial.
  • 0,25 p. por identificar la inversa.
  • 0,5 p. por el cálculo final (factorizado o no).

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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