Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

El producto escalar entre el vector normal al plano $\vec n = (1, 1, 1)$ y el vector $\overrightarrow{PQ} = (1, 2, -3)$ es $1 + 2 - 3 = 0$; por tanto, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Solo hay que ver que el punto $P$ o el punto $Q$ no están en el plano para concluir que son paralelos.

El estudio de esta posición relativa se puede hacer de otras maneras:

• Pasando la recta a forma general se facilita el estudio del sistema formado por las tres ecuaciones, que conduce a ver el paralelismo entre la recta y el plano.
• Pasando la recta a forma paramétrica, la intersección con el plano muestra que no hay solución, hecho que muestra el paralelismo entre la recta y el plano.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por el vector normal al plano.
• 0,25 p. por el vector director de la recta.
• 0,25 p. por el producto escalar y concluir el paralelismo.
• 0,25 p. por el paralelismo estricto.

b)

Dado que la recta y el plano son paralelos, para calcular la distancia entre ambos basta con considerar un punto de la recta y calcular su distancia al plano. Un punto de la recta es, por ejemplo, el punto $P = (0, 0, 6)$, y la distancia pedida es:$$d(r, \pi) = d(P, \pi) = d\big(P = (0,0,6),\ \pi\colon x + y + z - 1 = 0\big) = \frac{|1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 1\cdot 6 - 1|}{\sqrt{3}} = \boxed{\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} = 2{,}887\ u}$$Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la formulación a partir de un punto de la recta.
• 0,5 p. por la correcta aplicación de la fórmula.
• 0,25 p. por el cálculo final (sea racionalizado o no o con expresión decimal).