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Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

Enunciado

El tecnecio-99m es el radioisótopo más utilizado en medicina nuclear para diagnóstico por imagen y tiene un periodo de semidesintegración

T = 6{,}0\,\text{h}

. Para obtener la resolución deseada, la actividad de la sustancia inyectada, en el momento de realizar la prueba, debe ser de

400\,\text{MBq}

. Entre la producción del radiofármaco y la realización de la prueba transcurren

5{,}0\,\text{h}

. Calcula:

a) La constante de desintegración y la actividad que debe tener el radioisótopo en el momento de su producción. (1 punto)

b) El número de núcleos y la masa de dicho isótopo que es necesario producir. (1 punto)

Datos: número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot10^{23}\,\text{mol}^{-1}

; masa molar del isótopo,

m_M = 99\,\text{g/mol}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\lambda = \ln 2/T = 0{,}116\,\text{h}^{-1} = 3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{s}^{-1}

;

A_0 = A\,e^{\lambda t} = 7{,}1\cdot10^{2}\,\text{MBq}

(

7{,}1\cdot10^{8}\,\text{Bq}

).

b)

N_0 = A_0/\lambda = 2{,}2\cdot10^{13}

núcleos, que son

m = N_0\,m_M/N_A = 3{,}7\cdot10^{-9}\,\text{g}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Mientras el radiofármaco viaja del laboratorio al hospital se va desintegrando, así que hay que producir más actividad de la que se necesita en la prueba. La actividad decae igual que el número de núcleos,

A = A_0\,e^{-\lambda t}

: conocida la final (

400\,\text{MBq}

a las 5 h), despejamos la inicial. Para el número de núcleos usamos

A = \lambda N

, con

\lambda

en s⁻¹ porque el becquerel es una desintegración por segundo. La masa sale de pasar núcleos a moles con el número de Avogadro.

Desarrollo

a) Constante de desintegración. Del periodo de semidesintegración,

\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{6{,}0\,\text{h}} = 0{,}116\,\text{h}^{-1}

En unidades del SI (

T = 6{,}0\cdot3600 = 2{,}16\cdot10^{4}\,\text{s}

\lambda = \frac{\ln 2}{2{,}16\cdot10^{4}\,\text{s}} = 3{,}2\cdot10^{-5}\,\text{s}^{-1}

Actividad en la producción. La actividad decae exponencialmente:

A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad A_0 = A\,e^{\lambda t}

Con

A = 400\,\text{MBq}

t = 5{,}0\,\text{h}

(usamos

\lambda

en h⁻¹ para que

\lambda t

salga adimensional):

A_0 = 400\,e^{0{,}1155\cdot5{,}0} = 400\cdot2^{5/6} = 400\cdot1{,}78 = 7{,}1\cdot10^{2}\,\text{MBq} = 7{,}1\cdot10^{8}\,\text{Bq}

Es lógico que salga algo menos del doble: en 5 h no llega a pasar un periodo completo (6 h).

b) Número de núcleos. La actividad es proporcional al número de núcleos,

A = \lambda N

. En el momento de la producción:

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{7{,}13\cdot10^{8}\,\text{s}^{-1}}{3{,}21\cdot10^{-5}\,\text{s}^{-1}} = 2{,}2\cdot10^{13}\ \text{núcleos}

Masa. Pasamos los núcleos a moles y los moles a gramos:

m = \frac{N_0}{N_A}\,m_M = \frac{2{,}22\cdot10^{13}}{6{,}02\cdot10^{23}}\cdot99\,\text{g} = 3{,}7\cdot10^{-9}\,\text{g}

Unos 3,7 nanogramos: con una cantidad minúscula de isótopo se consigue una actividad de cientos de megabecquerelios, porque su periodo es corto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error típico es dividir la actividad entre $\lambda$ en h⁻¹: el becquerel es «desintegraciones por segundo», así que para $N = A/\lambda$ la constante tiene que ir en s⁻¹ (si no, el número de núcleos sale 3600 veces más pequeño).

Y fíjate en el sentido del tiempo: la actividad de la producción es mayor que la de la prueba. Si te sale menor, has puesto el exponente con el signo cambiado.