Radiactividad y desintegración

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,75 p. Se trata de una desintegración $\beta^-$; por tanto, se emiten un electrón y un antineutrino.

Además, la reacción debe cumplir la conservación del número másico nuclear y, además, debe conservar la carga; con estas premisas, la reacción de desintegración será:$${}^{137}_{55}\text{Cs} \to {}^{x}_{y}\text{Ba} + {}^{\;\,0}_{-1}e + \bar\nu_e$$Por una parte, se cumple la conservación del número másico:$$137 = x + 0 \;\Rightarrow\; x = 137$$Y para la conservación de la carga:$$55 = y - 1 \;\Rightarrow\; y = 56$$Por tanto, la reacción completa es:$${}^{137}_{55}\text{Cs} \to {}^{137}_{56}\text{Ba} + {}^{\;\,0}_{-1}e + \bar\nu_e$$Alternativamente, se puede escribir ${}^{\;\,0}_{-1}\beta$ o $e^-$ en lugar de ${}^{\;\,0}_{-1}e$.

Si no se indica el antineutrino, hay que restar 0,25 p.

No hace falta que el estudiante detalle las operaciones relacionadas con la conservación de la carga y del número másico; son operaciones muy sencillas que se pueden hacer de cabeza; por tanto, solo se valorará si ha sido capaz de deducir correctamente los diferentes términos de la reacción.

0,25 p. El número de núcleos al cabo de un tiempo viene dado por:$$N = N_0\,e^{-\lambda t}$$El coeficiente de desintegración $\lambda$ se obtiene del tiempo de semidesintegración:

$N(t) = \dfrac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda t_{1/2}}$ y, por tanto, $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.

Y obtenemos:$$t_{1/2} = 30{,}17\times 365\times 24\times 3600 = 9{,}51\times 10^{8}\ \text{s}$$$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9{,}51\times 10^{8}} = 7{,}28\times 10^{-10}\ \text{s}^{-1}$$0,25 p. Por tanto, la actividad al cabo de 40 años es:$$t = 40\ \text{años} = 1{,}26\times 10^{9}\ \text{s}$$$$N(40\ \text{años}) = 100\,\%\ e^{-\lambda t} = 100\,\%\ e^{-7{,}28\times 10^{-10}\times 1{,}26\times 10^{9}} = 39{,}9\,\%$$No hace falta que el estudiante haga los cálculos en el SI; por ejemplo, si ha operado con años también se considerará correcto.

b)

0,5 p. La actividad al cabo de un tiempo viene dada por:$$A = A_0\,e^{-\lambda t}$$Si despejamos el tiempo:$$\frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t} \;\Longrightarrow\; \ln\left(\frac{A}{A_0}\right) = -\lambda t \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{A}{A_0}\right) = \frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{A_0}{A}\right)$$0,5 p. Y si sustituimos:$$t = \frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{A_0}{A}\right) = \frac{1}{7{,}28\times 10^{-10}}\ln\left(\frac{6{,}00\times 10^{5}}{3{,}70\times 10^{4}}\right) = 3{,}82\times 10^{9}\ \text{s} = 121\ \text{años}$$0,25 p. Por tanto, deberán pasar aproximadamente 121 años desde el accidente para que la zona sea habitable, es decir, hasta aproximadamente el año 2107.