Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

a) Longitud de onda. Los 80 cm de la figura van del primer valle al tercero, es decir, abarcan dos longitudes de onda:$$2\lambda = 80\,\text{cm}\quad\Longrightarrow\quad \lambda = 40\,\text{cm} = 0{,}40\,\text{m}$$Amplitud. Los 40 cm van de una cresta a un valle, que es el doble de la amplitud:$$2A = 40\,\text{cm}\quad\Longrightarrow\quad A = 20\,\text{cm} = 0{,}20\,\text{m}$$Velocidad de propagación.$$v = \lambda f = 0{,}40\cdot2 = 0{,}80\,\text{m/s}$$Magnitudes angulares.$$\omega = 2\pi f = 4\pi\,\text{rad/s},\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}40} = 5\pi\,\text{rad/m}$$Fase inicial. La onda avanza hacia $+x$ (se aleja de la mano):$$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$$En la foto ($t = 2\,\text{s}$) el extremo $x = 0$ está en $y = +A$:$$A = A\,\text{sen}(4\pi\cdot2 + \varphi_0) = A\,\text{sen}(8\pi + \varphi_0) = A\,\text{sen}\,\varphi_0\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = 1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\,\text{rad}$$Como $t = 2\,\text{s}$ son cuatro periodos exactos ($T = 0{,}5\,\text{s}$), la cuerda tiene en la foto la misma forma que en $t = 0$.

b) Función de onda (SI).$$y(x,t) = 0{,}20\,\text{sen}\left(4\pi t - 5\pi x + \frac{\pi}{2}\right)\ \ \text{(m, con } x \text{ en m y } t \text{ en s)}$$Distancia para un desfase de $\pi/2$. En un mismo instante, la fase de dos puntos difiere en $k\,\Delta x$:$$\Delta\varphi = k\,\Delta x\quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{\Delta\varphi}{k} = \frac{\pi/2}{5\pi} = 0{,}10\,\text{m} = 10\,\text{cm}$$Es un cuarto de longitud de onda, $\lambda/4$, la menor distancia con ese desfase.

c) Fase del punto. Con $x = 0{,}40\,\text{m}$ y $t = 1\,\text{s}$:$$\varphi = 4\pi\cdot1 - 5\pi\cdot0{,}40 + \frac{\pi}{2} = 4\pi - 2\pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$$que equivale a $\pi/2$.

Posición.$$y = 0{,}20\,\text{sen}\frac{\pi}{2} = 0{,}20\,\text{m}$$Velocidad de vibración. Derivando respecto del tiempo:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos\varphi = 0{,}20\cdot4\pi\cdot\cos\frac{\pi}{2} = 0$$Aceleración.$$a_y = \frac{\partial v_y}{\partial t} = -A\omega^2\,\text{sen}\,\varphi = -\omega^2 y = -(4\pi)^2\cdot0{,}20 = -32\,\text{m/s}^2$$El punto está en una cresta: momentáneamente quieto y con la aceleración máxima, hacia abajo. Tiene sentido: $x = 40\,\text{cm}$ está a una longitud de onda del extremo, que en $t = 1\,\text{s}$ (dos periodos) también está arriba.