Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Para una partícula de masa $m$ en un MAS de amplitud $A$, con constante $k = m\omega^2$:$$E_p = \frac{1}{2}k x^2 \qquad E_c = \frac{1}{2}k\left(A^2 - x^2\right) \qquad E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}k A^2$$La gráfica, para $x$ entre $-A$ y $A$, tiene tres curvas:

• $E_p(x)$: parábola con vértice en el origen ($E_p = 0$ en $x = 0$), abierta hacia arriba, que alcanza el valor máximo $\frac{1}{2}kA^2$ en los extremos $x = \pm A$.
• $E_c(x)$: parábola invertida, máxima ($\frac{1}{2}kA^2$) en $x = 0$ y nula en $x = \pm A$.
• $E_m$: recta horizontal de altura $\frac{1}{2}kA^2$, que es la suma de las otras dos en cada punto.

Las dos parábolas se cortan en $x = \pm A/\sqrt{2}$, donde cada energía vale la mitad de la total. La energía se transforma continuamente de cinética en potencial y al revés, pero la mecánica se conserva (no hay rozamiento).

ii) No, en general no se duplicaría. Escribiendo la energía mecánica con la frecuencia angular ($k = m\omega^2$):$$E_m = \frac{1}{2} m\,\omega^2 A^2$$Para la misma partícula (misma $m$) y la misma amplitud $A$, la energía es proporcional a $\omega^2$:$$\frac{E_m'}{E_m} = \left(\frac{2\omega}{\omega}\right)^2 = 4$$Al duplicar la frecuencia angular, la energía mecánica se cuadruplica, no se duplica.

b) Comparando con $y(x,t) = A\,\text{sen}(kx - \omega t)$:$$A = 0{,}6\ \text{m} \qquad k = 3{,}125\cdot 10^{-7}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \omega = 1{,}25\cdot 10^{-3}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$Como $kx$ y $\omega t$ tienen signos opuestos, la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$.

i) Longitud de onda:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{3{,}125\cdot 10^{-7}} = 2{,}01\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Frecuencia:$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1{,}25\cdot 10^{-3}}{2\pi} = 1{,}99\cdot 10^{-4}\ \text{Hz}$$(un periodo $T = 1/f = 5{,}03\cdot 10^{3}\ \text{s}$).

Velocidad de propagación:$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{1{,}25\cdot 10^{-3}}{3{,}125\cdot 10^{-7}} = 4{,}00\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(se comprueba con $v = \lambda f = 2{,}01\cdot 10^{7}\cdot 1{,}99\cdot 10^{-4} = 4{,}00\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$).

ii) La perturbación viaja a velocidad constante $v$, así que tarda en recorrer $d = 400\ \text{km} = 4\cdot 10^{5}\ \text{m}$:$$t = \frac{d}{v} = \frac{4\cdot 10^{5}}{4\cdot 10^{3}} = 100\ \text{s}$$La velocidad de vibración de las partículas del medio es la derivada de la elongación respecto al tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}6\cdot 1{,}25\cdot 10^{-3}\cos(3{,}125\cdot 10^{-7}x - 1{,}25\cdot 10^{-3}t)$$y su valor máximo es$$v_{y,\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}6\cdot 1{,}25\cdot 10^{-3} = 7{,}5\cdot 10^{-4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Las partículas oscilan muy despacio comparado con lo rápido que viaja la onda: son dos velocidades distintas.