Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

1,0 p. El nivel de intensidad sonora está definido como:$$\beta = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$$Y la intensidad sonora es:$$I = I_0\,10^{\beta/10}$$Y la relación de intensidades sonoras es:$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{10^{\beta_1/10}}{10^{\beta_2/10}} = 10^{\left(\frac{\beta_1}{10} - \frac{\beta_2}{10}\right)} = 10^{3/10} = 10^{0{,}3} = 1{,}995$$Por otra parte, la relación entre las dos intensidades es:$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{P/4\pi r_1^2}{P/4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 \;\Longrightarrow\; r_2 = r_1\sqrt{\frac{I_1}{I_2}}$$y$$r_1 = \sqrt{15^2 + 5^2} = 15{,}8\ \text{m}$$Entonces:$$r_2 = r_1\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = 15{,}8\sqrt{1{,}995} = 22{,}3\ \text{m}$$0,25 p. Por otra parte:$$r_2 = \sqrt{20^2 + h_2^2} = 22{,}3\ \text{m} \;\Longrightarrow\; h_2 = \sqrt{22{,}3^2 - 20^2} = 9{,}94\ \text{m}$$Alternativamente,

0,25 p. se pueden calcular primero las intensidades:$$I_1 = I_0\,10^{\beta_1/10} = 3{,}162\times 10^{-6}\ \text{W m}^{-2},\quad I_2 = I_0\,10^{\beta_2/10} = 1{,}585\times 10^{-6}\ \text{W m}^{-2}$$0,5 p. Y a partir de $I_1$, calcular la potencia:$$P = 4\pi r_1^2 I_1 = 9{,}934\times 10^{-3}\ \text{W}$$0,25 p. Y a partir de $I_2$ y la potencia, calcular $r_2$:$$r_2 = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_2}} = 22{,}3\ \text{m}$$b)

0,25 p. Primero determinaremos la longitud de onda:$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{80} = 4{,}25\ \text{m}$$0,25 p. Dado un punto situado entre los dos elefantes, en la línea recta que los une, llamamos $x_1$ a la distancia recorrida por la onda que sale del primer elefante hasta ese punto y $x_2$ a la distancia recorrida por la onda que sale del segundo elefante hasta ese punto:$$x_1 + x_2 = 10\ \text{m}$$0,25 p. Las interferencias destructivas se producen cuando hay un desfase de media longitud de onda, es decir, cuando la diferencia de recorrido es:$$\Delta x = |x_1 - x_2| = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda,\quad n = 0, 1, 2, \ldots$$0,5 p. Para $n = 0$, tenemos$$x_1 + x_2 = 10\ \text{m},\qquad |x_1 - x_2| = 2{,}125\ \text{m}$$que tiene como soluciones $x_1 = 6{,}06\ \text{m}$, $x_2 = 3{,}94\ \text{m}$ y $x_1 = 3{,}94\ \text{m}$, $x_2 = 6{,}06\ \text{m}$.

Para $n = 1$, tenemos$$x_1 + x_2 = 10\ \text{m},\qquad |x_1 - x_2| = 6{,}375\ \text{m}$$que tiene como soluciones $x_1 = 8{,}19\ \text{m}$, $x_2 = 1{,}81\ \text{m}$ y $x_1 = 1{,}81\ \text{m}$, $x_2 = 8{,}19\ \text{m}$.

Para $n = 3$, tenemos$$x_1 + x_2 = 10\ \text{m},\qquad |x_1 - x_2| = 10{,}625\ \text{m}$$que tiene como soluciones $x_1 = 10{,}31\ \text{m}$, $x_2 = -0{,}31\ \text{m}$ y $x_1 = -0{,}31\ \text{m}$, $x_2 = 10{,}31\ \text{m}$.

Están fuera del espacio entre los dos elefantes; por tanto, ya no son soluciones válidas, y lo mismo pasará para $n > 3$. Por tanto, solo tenemos las soluciones para $n = 0$ y $n = 1$:$$6{,}06\ \text{m},\quad 3{,}94\ \text{m},\quad 8{,}19\ \text{m}\quad\text{y}\quad 1{,}81\ \text{m}$$Nota para los correctores: si dan la mitad de las soluciones, hay que restar 0,25 p. en este apartado.