Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

a) Distancias. Cada carga está a una distancia $a$ de $C$ y de $D$:$$\overline{AC} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{BD} = a = 3{,}0\,\text{m}$$Potencial en $C$ y en $D$. El potencial de varias cargas es la suma (escalar) de los de cada una:$$V_C = k_e\frac{Q}{a} + k_e\frac{Q}{a} = \frac{2k_eQ}{a} = \frac{2\cdot9\cdot10^{9}\cdot2{,}0\cdot10^{-9}}{3{,}0} = 12\,\text{V}$$$$V_D = \frac{2k_eQ}{a} = 12\,\text{V}$$¿Es equipotencial la diagonal $CD$? Que $C$ y $D$ tengan el mismo potencial no significa que lo tengan todos los puntos entre ellos. Tomemos el centro del cuadrado, $M(a/2,\,a/2)$: su distancia a cada carga es media diagonal, $a/\sqrt2 = 2{,}12\,\text{m}$, menor que $a$. Su potencial es$$V_M = \frac{2k_eQ}{a/\sqrt2} = \sqrt2\,V_C = \frac{2\sqrt2\cdot9\cdot10^{9}\cdot2{,}0\cdot10^{-9}}{3{,}0} = 17\,\text{V}$$Como $V_M \neq V_C$, la diagonal $CD$ no es una línea equipotencial: a lo largo de ella el potencial sube de 12 V a 17 V en el centro y vuelve a bajar a 12 V. (Otra forma de verlo: por simetría, en los puntos de la diagonal $CD$ distintos del centro el campo apunta a lo largo de la propia diagonal, alejándose de la recta $AB$, y una equipotencial tiene que ser perpendicular al campo en cada punto.)

b) Campo de cada carga en $D$. Ambas cargas son positivas, así que su campo apunta alejándose de ellas. Desde $A(a,0)$ hasta $D(a,a)$ el vector es $a\,\vec\jmath$; desde $B(0,a)$ hasta $D$, $a\,\vec\imath$:$$\vec E_A = k_e\frac{Q}{a^2}\,\vec\jmath,\qquad \vec E_B = k_e\frac{Q}{a^2}\,\vec\imath,\qquad k_e\frac{Q}{a^2} = \frac{9\cdot10^{9}\cdot2{,}0\cdot10^{-9}}{3{,}0^2} = 2{,}0\,\text{N/C}$$Campo total en $D$.$$\vec E_D = \vec E_A + \vec E_B = 2{,}0\,\vec\imath + 2{,}0\,\vec\jmath\ \ \text{N/C},\qquad E_D = 2{,}0\sqrt2 = 2{,}8\,\text{N/C}$$Apunta a lo largo de la diagonal, alejándose de $C$ (a $45^\circ$ sobre el eje $X$).

Carga en $C$ que anula el campo. La carga $Q_c$ está a una distancia $\overline{CD} = a\sqrt2$ de $D$, y su campo en $D$ va a lo largo de la diagonal: alejándose de $C$ si $Q_c > 0$, hacia $C$ si $Q_c < 0$. Para cancelar $\vec E_D$ tiene que apuntar hacia $C$, así que $Q_c$ es negativa, y su módulo debe valer $E_D$:$$k_e\frac{|Q_c|}{(a\sqrt2)^2} = \sqrt2\,k_e\frac{Q}{a^2}\quad\Longrightarrow\quad |Q_c| = 2\sqrt2\,Q = 2\sqrt2\cdot2{,}0\,\text{nC} = 5{,}7\,\text{nC}$$$$Q_c = -2\sqrt2\,Q = -5{,}7\cdot10^{-9}\,\text{C}$$c) Ley de Gauss. El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada en su interior dividida entre la permitividad del vacío:$$\Phi_E = \oint_S \vec E\cdot d\vec S = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$$No depende de la forma ni del tamaño de la superficie, ni de las cargas exteriores (su campo entra y sale y su flujo neto es cero).

Qué carga encierra la esfera. La esfera de radio $1\,\text{m}$ centrada en $A$ contiene la carga de $A$. La de $B$ está a $\overline{AB} = a\sqrt2 = 4{,}2\,\text{m}$, fuera de la esfera, y no contribuye al flujo (como tampoco la $Q_c$ de $C$, a 3 m, si la hemos puesto). Así que $Q_{\text{int}} = Q$:$$\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0} = 4\pi k_e\,Q = 4\pi\cdot9\cdot10^{9}\cdot2{,}0\cdot10^{-9} = 2{,}3\cdot10^{2}\,\text{N m}^2/\text{C}$$