Campo y potencial eléctrico

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Para puntuar este ejercicio hay que tener presente que se pide una representación cualitativa; por tanto, no se pide precisión, sino que, cuando el estudiante dibuje las líneas de campo y las equipotenciales, tenga cuidado con los detalles que se indican a continuación:

0,25 p. Las dos cargas están situadas correctamente según las coordenadas dadas en el enunciado.

0,25 p. Las líneas de campo apuntan hacia las cargas y todas se dirigen hacia una de las dos cargas puntuales.

0,25 p. El número de líneas de campo que se dirigen a la carga $q_B$ es aproximadamente el doble de las líneas que convergen en $q_A$.

0,25 p. Las líneas equipotenciales son aproximadamente perpendiculares a las líneas de campo.

0,25 p. Las líneas equipotenciales están más próximas entre sí cuando nos acercamos a las cargas puntuales.

b)

0,5 p. Como la fuerza que hacen las dos cargas es repulsiva, hay que situar la carga $q_C$ entre $q_A$ y $q_B$.

Como las dos fuerzas tienen la misma dirección y sentidos opuestos, la condición de equilibrio corresponde a igualar los módulos de las dos fuerzas:$$k\,\frac{q_A q_C}{x^2} = k\,\frac{q_B q_C}{(1 - x)^2}$$Simplificando:$$\frac{q_A}{x^2} = \frac{q_B}{(1 - x)^2} \;\Rightarrow\; \frac{1}{x^2} = \frac{2}{(1 - x)^2} \;\Rightarrow\; (1 - x)^2 = 2x^2 \;\Rightarrow\; x^2 + 2x - 1 = 0$$La ecuación anterior tiene dos soluciones, pero solo la positiva es correcta:$$x = -1 + \sqrt{2} = 0{,}414\ \text{m}$$0,5 p. El trabajo que hace el campo eléctrico es igual a menos la variación de energía potencial:$$W = -\Delta U = -q_C\,(V_f - V_i)$$El potencial inicial es:$$V_i = k\left(\frac{q_A}{x} + \frac{q_B}{1 - x}\right) = 8{,}99\times 10^{9}\left(\frac{-2\times 10^{-6}}{0{,}414} + \frac{-4\times 10^{-6}}{0{,}586}\right) = -1{,}048\times 10^{5}\ \text{V}$$El potencial final es:$$V_f = k\left(\frac{q_A}{x} + \frac{q_B}{1 - x}\right) = 8{,}99\times 10^{9}\left(\frac{-2\times 10^{-6}}{0{,}5} + \frac{-4\times 10^{-6}}{0{,}5}\right) = -1{,}079\times 10^{5}\ \text{V}$$Así, el trabajo es:$$W = -\Delta U = -q_C\,(V_f - V_i) = -2{,}47\times 10^{-2}\ \text{J}$$0,25 p. El trabajo que hace el campo eléctrico es negativo, es decir, el campo eléctrico se opone al desplazamiento; por tanto, ha sido necesario aplicar una fuerza externa para trasladar la carga $q_C$ desde el punto inicial hasta el punto final.