Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio

a) Amplitud. Los extremos de la oscilación están en $x = \pm5{,}0\,\text{cm}$, así que$$A = 5{,}0\,\text{cm} = 0{,}050\,\text{m}$$Periodo y frecuencia. Entre dos elongaciones máximas consecutivas (de un extremo al opuesto) pasa medio periodo:$$\frac{T}{2} = 2{,}0\,\text{s}\quad\Longrightarrow\quad T = 4{,}0\,\text{s}\qquad f = \frac1T = 0{,}25\,\text{Hz}$$La frecuencia angular es $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{\pi}{2}\,\text{rad/s} = 1{,}57\,\text{rad/s}$.

Constante elástica. Para un muelle, $\omega = \sqrt{k/m}$, así que$$k = m\,\omega^2 = \frac{4\pi^2\,m}{T^2} = 0{,}400\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = 0{,}99\,\text{N/m}$$Función $x(t)$. Escribimos $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$. En $t = 0$ el bloque está en el extremo positivo: $x(0) = A\cos\varphi_0 = A$, de donde $\varphi_0 = 0$:$$x(t) = 0{,}050\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t\right)\ \text{m}$$Con un seno sería $x(t) = 0{,}050\,\text{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\,t + \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m}$, que es la misma función.

b) Gráfica. Es una cosinusoide que empieza en su máximo:

• $t = 0$: $x = +5{,}0\,\text{cm}$ (máximo).
• $t = 1{,}0\,\text{s}$: $x = 0$ (pasa por el centro bajando).
• $t = 2{,}0\,\text{s}$: $x = -5{,}0\,\text{cm}$ (mínimo).
• $t = 3{,}0\,\text{s}$: $x = 0$ (pasa por el centro subiendo).
• $t = 4{,}0\,\text{s}$: $x = +5{,}0\,\text{cm}$, y se repite.

Sobre ella se marcan la amplitud, la distancia vertical de $0$ a $5{,}0\,\text{cm}$; el periodo, la distancia horizontal entre dos máximos ($t = 0$ y $t = 4{,}0\,\text{s}$); y el primer instante de velocidad máxima.

Primer instante de velocidad máxima. Derivando,$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,\omega\,\text{sen}(\omega t)$$Su módulo es máximo, $A\omega$, cuando $|\text{sen}(\omega t)| = 1$, es decir, cuando $x = 0$: el bloque pasa por la posición de equilibrio, donde toda la energía es cinética. La primera vez es$$\omega t = \frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{T}{4} = 1{,}0\,\text{s}$$En la gráfica es el primer corte con el eje de tiempos, donde la pendiente de la curva es máxima (en valor absoluto). Ahí $v = -A\omega = -7{,}9\,\text{cm/s}$: se mueve hacia la izquierda, como dice el enunciado.

c) Velocidad en $t = 3{,}0\,\text{s}$.$$v(3{,}0) = -A\,\omega\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\cdot3{,}0\right) = -0{,}050\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\text{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = +0{,}050\cdot\frac{\pi}{2} = 0{,}079\,\text{m/s}$$Sentido. En $t = 3{,}0\,\text{s}$ el bloque está en $x = A\cos(3\pi/2) = 0$, el centro, y su velocidad es positiva: se mueve hacia la derecha (sentido $+x$) con la velocidad máxima. Encaja con la gráfica: entre $t = 2{,}0\,\text{s}$ (extremo izquierdo) y $t = 4{,}0\,\text{s}$ (extremo derecho) el bloque va de izquierda a derecha.