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Movimiento armónico simple

Extremadura · 2026 · Junio

Enunciado

Un bloque de masa

m = 0{,}50\ \text{kg}

está unido al extremo de un muelle horizontal de constante elástica desconocida. El sistema oscila sin rozamiento. En un experimento se observa que el bloque tarda 0,40 s en pasar desde la posición de máxima elongación positiva hasta la máxima elongación negativa. Además, se sabe que la energía mecánica total del sistema es:

E = 1{,}8\ \text{J}

.

a) (0,75 puntos) Determina el período, la frecuencia y la constante elástica del muelle.

b) (0,5 puntos) Calcula la amplitud de la oscilación.

c) (0,75 puntos) Escribe la ecuación del movimiento del bloque suponiendo que en

t = 0

se encuentra en la elongación máxima positiva.

d) (0,5 puntos) Determina la velocidad máxima y la aceleración máxima del bloque.

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Resultado

\boxed{\;T = 0{,}80\ \text{s}\qquad f = 1{,}25\ \text{Hz}\qquad k = 30{,}8\ \text{N/m}\;}

\boxed{\;A = 0{,}342\ \text{m}\qquad x(t) = 0{,}342\,\text{sen}\!\left(2{,}5\pi\,t + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_{\text{máx}} = 2{,}68\ \text{m/s}\qquad a_{\text{máx}} = 21{,}1\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ir de un extremo al otro es media oscilación, así que el período es el doble de 0,40 s. Con el período sale la pulsación y, del período de un muelle,

T = 2\pi\sqrt{m/k}

, la constante elástica. La energía mecánica de un oscilador es

E = \frac{1}{2}kA^2

, de donde sale la amplitud. La fase inicial se ajusta para que en

t = 0

el bloque esté en

x = +A

, y los máximos de velocidad y aceleración son

A\omega

A\omega^2

Desarrollo

a) De

x = +A

x = -A

el bloque recorre media oscilación:

\frac{T}{2} = 0{,}40\ \text{s}\quad\Longrightarrow\quad T = 0{,}80\ \text{s}

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}80} = 1{,}25\ \text{Hz}\qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2{,}5\pi\ \text{rad/s} = 7{,}85\ \text{rad/s}

Del período del muelle,

T = 2\pi\sqrt{m/k}

, es decir,

k = m\,\omega^2

k = m\,\omega^2 = 0{,}50\cdot (2{,}5\pi)^2 = 30{,}8\ \text{N/m}

b) La energía mecánica del oscilador es la energía potencial elástica en un extremo, donde la velocidad es nula:

E = \frac{1}{2}k\,A^2\quad\Longrightarrow\quad A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}8}{30{,}8}} = 0{,}342\ \text{m}

c) Escribimos la elongación como

x(t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)

. En

t = 0

el bloque está en

x = +A

A = A\,\text{sen}\,\varphi_0\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = 1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}

x(t) = 0{,}342\,\text{sen}\!\left(2{,}5\pi\,t + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\qquad (t\ \text{en s})

Que es lo mismo que

x(t) = 0{,}342\cos(2{,}5\pi\,t)\ \text{m}

. Comprobación: en

t = 0{,}40\ \text{s}

x = 0{,}342\cos\pi = -0{,}342\ \text{m}

, el otro extremo.

d) Derivando,

v(t) = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)

a(t) = -A\omega^2\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x

. Sus valores máximos son:

v_{\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}342\cdot 7{,}85 = 2{,}68\ \text{m/s}

a_{\text{máx}} = A\,\omega^2 = 0{,}342\cdot (7{,}85)^2 = 21{,}1\ \text{m/s}^2

La velocidad es máxima al pasar por el equilibrio y la aceleración, en los extremos. Se puede comprobar

v_{\text{máx}}

con la energía: toda la energía es cinética en el centro,

v_{\text{máx}} = \sqrt{2E/m} = \sqrt{2\cdot 1{,}8/0{,}50} = 2{,}68\ \text{m/s}

Consejo

De un extremo al otro es medio período, no uno entero: es el error que estropea todo el problema, porque $T$ entra en $k$ , en la amplitud y en los máximos.

Comprueba la velocidad máxima por dos caminos ( $A\omega$ y $\sqrt{2E/m}$ ): si no coinciden, hay una cuenta mal antes.