FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Movimiento armónico simple

Castilla-La Mancha · 2026 · Junio

Enunciado

Una partícula de masa

m = 0{,}1\,\text{kg}

oscila, al estar unida a un muelle, con movimiento armónico simple (MAS). La posición de la partícula en función del tiempo queda determinada por la ecuación

x(t) = 10\cos\left(\frac{\pi}{2}\,t + \pi\right)\ \text{cm}

a) (1,25 puntos) Determine la constante elástica del muelle y halle la energía cinética y la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto intermedio de la oscilación.

b) (1,25 puntos) Para el mismo sistema, encuentre la ecuación de la posición de la partícula,

x(t)

, en el caso de que la velocidad en el punto intermedio fuera de

20\pi\,\text{cm/s}

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Resultado

\boxed{\;k = 0{,}247\ \text{N/m}\qquad E_c = 1{,}23\cdot 10^{-3}\ \text{J}\qquad v = 0{,}157\ \text{m/s}\;}

\boxed{\;x(t) = 40\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\,t + \pi\right)\ \text{cm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De la ecuación se leen la amplitud (

A = 10\,\text{cm}

) y la frecuencia angular (

\omega = \pi/2\ \text{rad/s}

); con la masa,

k = m\omega^2

. El «punto intermedio» es la posición de equilibrio,

x = 0

: allí toda la energía es cinética e igual a la energía total del oscilador,

\tfrac12 kA^2

.

En b) el muelle y la masa son los mismos, así que $\omega$ no cambia. Si la velocidad máxima es otra, lo que cambia es la amplitud:

v_{\text{máx}} = A\omega

Desarrollo

a) Frecuencia angular, leída de la ecuación:

\omega = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad/s}

k = m\,\omega^2 = 0{,}1\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = 0{,}247\ \text{N/m}

En el punto intermedio (

x = 0

) la energía potencial elástica es nula y toda la energía mecánica es cinética. Por conservación, es la que había en un extremo (

x = \pm A

, con

A = 0{,}1\,\text{m}

), donde todo era potencial:

E_c = \frac12 k A^2 = \frac12\cdot 0{,}247\cdot (0{,}1)^2 = 1{,}23\cdot 10^{-3}\ \text{J}

E_c = \frac12 m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}23\cdot 10^{-3}}{0{,}1}} = 0{,}157\ \text{m/s}

(Coincide con la velocidad máxima

A\omega = 0{,}1\cdot\pi/2 = 0{,}157\,\text{m/s}

, como debe ser: en el equilibrio la velocidad es máxima.)

b) Mismo muelle y misma masa:

\omega = \pi/2\ \text{rad/s}

no cambia. Con

v_{\text{máx}} = 20\pi\,\text{cm/s}

v_{\text{máx}} = A'\,\omega \quad\Longrightarrow\quad A' = \frac{v_{\text{máx}}}{\omega} = \frac{20\pi}{\pi/2} = 40\ \text{cm}

Suponiendo la misma fase inicial (la partícula también parte del extremo negativo):

x(t) = 40\cos\left(\frac{\pi}{2}\,t + \pi\right)\ \text{cm}

Consejo

Pasa la amplitud a metros antes de calcular energías ( $10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m}$ ): con centímetros la energía sale 10 000 veces mayor.

En b) di explícitamente que $\omega$ no cambia porque depende solo de $k$ y $m$ , no de cómo se ponga a oscilar el sistema.