FísicaMedio1 pts

Movimiento armónico simple

Castilla y León · 2026 · Junio

Enunciado

Un objeto de masa

m

ligado a un muelle realiza un movimiento oscilatorio de amplitud

A

. En la gráfica adjunta se representa la variación de su energía cinética respecto a la posición a lo largo de una oscilación completa. Compare esta representación con la que se obtendría para otro objeto de masa

4m

ligado al mismo muelle si la amplitud de su oscilación fuese

A/2

. Represente también la energía potencial y la mecánica en este caso. ¿Se modificaría el periodo de este movimiento respecto al del primer objeto? Razone la respuesta. (1 punto)

Gráfica de la energía cinética Ec, en julios, frente a la posición, en metros, entre −A y A sobre una cuadrícula de cuatro columnas y cinco filas: es una parábola invertida que vale cero en −A y en A y tiene su máximo, Ec,máx, en el centro, a la altura de la cuarta línea horizontal

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;E'_{c,\text{máx}} = \frac{E_{c,\text{máx}}}{4}\qquad E_m' = \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{E_{c,\text{máx}}}{4}\qquad T' = 2T\;}

La nueva parábola de

E_c

va de

-A/2

A/2

;

E_p = \frac{1}{2}kx^2

E_m

es constante.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En un oscilador armónico la energía mecánica es

E_m = \frac{1}{2}kA^2

y no depende de la masa; la potencial es

E_p = \frac{1}{2}kx^2

y la cinética, la diferencia:

E_c = \frac{1}{2}k\,(A^2 - x^2)

. Con el mismo muelle (

k

igual) solo cambia la amplitud, así que basta con sustituir

A/2

. El periodo,

T = 2\pi\sqrt{m/k}

, sí depende de la masa.

Desarrollo

Energía cinética del primer objeto. De la conservación de la energía:

E_c(x) = E_m - E_p = \frac{1}{2}k\,(A^2 - x^2)\qquad E_{c,\text{máx}} = \frac{1}{2}kA^2

Es la parábola de la gráfica: cero en

x = \pm A

y máxima en

x = 0

.

Segundo objeto (masa

4m

, mismo muelle, amplitud

A/2

E'_c(x) = \frac{1}{2}k\left(\frac{A^2}{4} - x^2\right)\qquad E'_{c,\text{máx}} = \frac{1}{2}k\,\frac{A^2}{4} = \frac{E_{c,\text{máx}}}{4}

La masa no aparece: la energía solo depende de

k

y de la amplitud. Comparada con la gráfica del enunciado, la nueva curva:

es una parábola con la misma curvatura (el mismo $-\frac{1}{2}kx^2$ ), solo que desplazada hacia abajo;
se extiende solo entre $-A/2$ y $A/2$ (las líneas verticales intermedias de la cuadrícula), donde vale cero;
su máximo en $x = 0$ es la cuarta parte del original: $E_{c,\text{máx}}/4$ , que en la cuadrícula es la primera línea horizontal (el original llega a la cuarta).

Energías potencial y mecánica del segundo objeto, entre

-A/2

A/2

E_p(x) = \frac{1}{2}kx^2\qquad E_m = \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{E_{c,\text{máx}}}{4}

$E_p$ es una parábola abierta hacia arriba: vale cero en $x = 0$ y $E_{c,\text{máx}}/4$ en los extremos $\pm A/2$ .
$E_m$ es una recta horizontal a la altura $E_{c,\text{máx}}/4$ : es constante porque la fuerza del muelle es conservativa.
En cada punto, $E_c + E_p = E_m$ : las dos parábolas se cortan en $x = \pm A/(2\sqrt{2}) \approx \pm 0{,}35\,A$ , donde cada una vale $E_m/2$ .

Periodo. El periodo de un oscilador masa-muelle es

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

No depende de la amplitud, pero sí de la masa. Con

4m

y el mismo muelle:

T' = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{k}} = 2\cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2T

Sí se modifica: el periodo se duplica. Que la amplitud sea la mitad no influye.

Consejo

La energía del oscilador, $\frac{1}{2}kA^2$ , no depende de la masa; el periodo, $2\pi\sqrt{m/k}$ , no depende de la amplitud. Confundir las dos ideas es el fallo típico.

Al dibujar, marca los valores en los ejes ( $\pm A/2$ y $E_{c,\text{máx}}/4$ ): una curva sin valores no permite comparar con la del enunciado.