FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Julio

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Enunciado

El 7 de enero de 1610, Galileo Galilei apuntó su telescopio hacia Júpiter y descubrió cuatro puntos luminosos a su alrededor. Observando en días sucesivos, pudo concluir que orbitan alrededor de Júpiter. Como hizo él, también nosotros, con unos prismáticos, podríamos comprobar que el satélite mayor, Ganimedes, tarda 7 días, 3 horas y 43 minutos en completar una órbita. Considerando la órbita circular:

a) Deduce razonadamente la expresión que relaciona la masa de Júpiter con el periodo orbital del satélite. Calcula su valor, sabiendo que el radio orbital de Ganimedes es

r = 1{,}07\cdot10^{6}\,\text{km}

. (1 punto)

b) Obtén razonadamente la expresión de la velocidad de escape desde la superficie de Júpiter. Calcula su valor sabiendo que la aceleración de la gravedad en su superficie es de

24{,}8\,\text{m s}^{-2}

. ¿Qué energía mecánica tendrá un cuerpo que despegue de Júpiter con dicha velocidad? (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal,

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2

; radio de Júpiter,

R = 71500\,\text{km}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}

(de igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta, con

v = 2\pi r/T

);

M = 1{,}90\cdot10^{27}\,\text{kg}

, con

T = 618180\,\text{s}

.

b)

v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2\,g_0\,R} = 5{,}96\cdot10^{4}\,\text{m/s}

(

59{,}6\,\text{km/s}

). Un cuerpo que despega con la velocidad de escape tiene energía mecánica nula,

E_m = 0

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), Ganimedes gira en una órbita circular porque la atracción de Júpiter hace de fuerza centrípeta. Igualando las dos y escribiendo la velocidad con el periodo sale la tercera ley de Kepler, y de ahí se despeja la masa del planeta. Solo hay que pasar antes el periodo a segundos y el radio a metros.

En b), la velocidad de escape es la que deja al cuerpo con energía mecánica nula: llega al infinito con velocidad cero. Como no nos dan la masa de Júpiter sino la gravedad en su superficie, usamos

g_0 = GM/R^2

para cambiar

GM

por

g_0R^2

. La última pregunta es la definición misma: con la velocidad de escape, la energía mecánica es cero.

Desarrollo

a) Unidades. El periodo en segundos y el radio en metros:

T = 7\cdot86400 + 3\cdot3600 + 43\cdot60 = 618180\,\text{s}\qquad r = 1{,}07\cdot10^{9}\,\text{m}

La gravedad hace de fuerza centrípeta. Para el satélite, de masa

m

, en órbita circular de radio

r

alrededor de Júpiter, de masa

M

G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}

Velocidad en función del periodo. En un movimiento circular uniforme,

v = \dfrac{2\pi r}{T}

. Sustituyendo:

G\,\frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}\quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3

que es la tercera ley de Kepler. Despejamos la masa de Júpiter:

M = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}

La masa del satélite se ha simplificado: el resultado no depende de ella.

Cálculo.

M = \frac{4\pi^2\,(1{,}07\cdot10^{9})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot(618180)^2} = 1{,}90\cdot10^{27}\,\text{kg}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Energía mecánica y velocidad de escape. Un cuerpo de masa

m

que sale de la superficie (

r = R

) con velocidad

v_e

tiene energía mecánica

E_m = \frac12\,m\,v_e^2 - G\,\frac{M\,m}{R}

Si solo actúa la gravedad,

E_m

se conserva. La velocidad de escape es la mínima para llegar al infinito (

E_p = 0

) con velocidad nula (

E_c = 0

), es decir, con

E_m = 0

\frac12\,m\,v_e^2 - G\,\frac{M\,m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}

Con la gravedad en la superficie. Como

g_0 = G\,\dfrac{M}{R^2}

, se tiene

G\,M = g_0\,R^2

v_e = \sqrt{2\,g_0\,R}

Cálculo, con

R = 7{,}15\cdot10^{7}\,\text{m}

v_e = \sqrt{2\cdot24{,}8\cdot7{,}15\cdot10^{7}} = 5{,}96\cdot10^{4}\,\text{m/s}\approx 59{,}6\,\text{km/s}

Con la masa del apartado a) sale lo mismo:

g_0R^2/G = 1{,}90\cdot10^{27}\,\text{kg}

, coherente con el resultado de la órbita.

Energía mecánica del cuerpo. Por cómo se ha definido la velocidad de escape, un cuerpo que despega con ella tiene energía mecánica nula: su energía cinética compensa exactamente la potencial (negativa).

E_m = 0

Consejo

La deducción vale más que la cuenta: 0,6 de los puntos de a) y 0,4 de b) son la expresión razonada. Escribe la igualdad fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta y $v = 2\pi r/T$ antes de despejar nada.

Ojo con las unidades: el periodo en segundos (no en días) y los radios en metros (no en km); con km la masa sale $10^9$ veces más pequeña. Y en b) no te quedes en $\sqrt{2GM/R}$ : como te dan $g_0$ y no $M$ , usa $GM = g_0R^2$ .

Paso 1 de 3

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