Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Starlink es una constelación de satélites que ofrece servicios de Internet de banda ancha utilizando órbitas terrestres bajas para hacer más rápida la comunicación. Cada satélite tiene una masa de $227\ \text{kg}$ y describe una órbita circular a una altura de $550\ \text{km}$ por encima de la superficie terrestre.

a) (1,25 puntos) A partir de la ley de gravitación universal, deduzca la expresión de la velocidad orbital en función del radio orbital y de la masa de la Tierra. A continuación, calcule la velocidad orbital de los satélites a la altura de $550\ \text{km}$ y determine cuántas vueltas completas a la Tierra describe cada satélite en un día.

b) (1,25 puntos) Para evitar posibles colisiones con otros objetos, cada satélite dispone de un sistema de maniobra que, al detectar un riesgo, reduce la altura de la órbita. En una de estas maniobras, un satélite baja gradualmente hasta una altura de $530\ \text{km}$. Deduzca la expresión de la energía mecánica en función del radio orbital, la masa de la Tierra y la masa del satélite. A continuación, calcule la energía mecánica del satélite en esta nueva órbita y justifique por qué la energía mecánica orbital debe ser negativa.

Datos: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}$. Masa de la Tierra: $M_T = 5{,}98\times 10^{24}\ \text{kg}$. Radio de la Tierra: $R_T = 6\,370\ \text{km}$.