Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Encontrar la expresión del periodo orbital

0,75 p. Según la ley de la gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre el satélite a causa de la atracción de la Tierra es:$$F = G\,\frac{m_s M_T}{r^2}$$La segunda ley de Newton establece que: $\vec F = m_s\,\vec a$

Por otra parte, considerando que el nanosatélite describe un movimiento circular uniforme alrededor de la Tierra, su aceleración es la aceleración centrípeta: $a = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$.

Como sobre el nanosatélite solo actúa la fuerza de la gravedad:$$G\,\frac{m_s M_T}{r^2} = m_s\,\frac{v^2}{r} \;\Rightarrow\; v^2 = G\,\frac{M_T}{r}$$El periodo orbital está relacionado con la velocidad mediante:$$T = \frac{2\pi r}{v}$$Sustituyendo la expresión de la velocidad, obtenemos:$$T = 2\pi r\sqrt{\frac{r}{G M_T}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}$$0,5 p. El radio $r = R_T + h = (6370 + 500)\ \text{km} = 6{,}87\cdot 10^{6}\ \text{m}$.

Utilizando la expresión, obtenemos el valor del periodo orbital del nanosatélite:$$T = 2\pi\sqrt{\frac{(6{,}87\times 10^{6})^3}{(6{,}67\times 10^{-11})(5{,}98\times 10^{24})}} = 5{,}66\cdot 10^{3}\ \text{s}$$b)

0,5 p. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa $m$ a una distancia $r$ del centro de la Tierra es:$$U(r) = -G\,\frac{m_s M_T}{r}$$El incremento de energía potencial al pasar de la superficie terrestre a la órbita es:$$\Delta U = U(r) - U(R_T) = -G m_s M_T\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_T}\right)$$Radio: $r = 6{,}37\cdot 10^{6} + 5{,}0\cdot 10^{5} = 6{,}87\cdot 10^{6}\ \text{m}$$$\Delta U = U(r) - U(R_T) = -6{,}67\times 10^{-11}\cdot 11{,}1\cdot 5{,}98\times 10^{24}\left(\frac{1}{6{,}87\cdot 10^{6}} - \frac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}}\right) = 5{,}06\times 10^{7}\ \text{J}$$0,5 p. La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la potencial: $E_m = E_c + U$.

La velocidad es: $v = \sqrt{G\,\dfrac{M_T}{r}} = 7{,}62\times 10^{3}\ \text{m/s}$

La energía cinética es: $E_c = \dfrac{1}{2}m_s v^2 = 3{,}22\times 10^{8}\ \text{J}$

Y la energía potencial es: $U = -G\,\dfrac{m_s M_T}{r} = -6{,}44\times 10^{8}\ \text{J}$

Y la energía mecánica del satélite: $E_m = E_c + U = -3{,}22\times 10^{8}\ \text{J}$

Alternativamente, se puede calcular directamente como: $E_m = -G\,\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_s M_T}{r} = -3{,}22\times 10^{8}\ \text{J}$

0,25 p. El signo negativo de la energía mecánica indica que el nanosatélite sigue una órbita cerrada (o ligada) alrededor de la Tierra.