Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. Hay que dibujar una elipse con el Sol en uno de los focos. El perihelio y el afelio están en la elipse, sobre el eje mayor; el afelio se sitúa en el punto más alejado y el perihelio, en el punto más próximo:

0,25 p. El semieje mayor $a$ se calcula a partir de las distancias al perihelio y al afelio:$$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{0{,}575 + 35{,}3}{2} = 17{,}94\ \text{ua} = 2{,}69\times 10^{12}\ \text{m}$$0,5 p. La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita. La constante de proporcionalidad es:$$\frac{(2\pi)^2}{G M_{Sol}} = 2{,}97\times 10^{-19}\ \text{s}^2\,\text{m}^{-3} = 1{,}00\ \text{años}^2\,\text{ua}^{-3}$$Se considerará correcto tanto si el estudiante calcula la constante como si da directamente su valor.

Entonces el periodo es:$$T = \sqrt{\frac{(2\pi)^2}{G M_{Sol}}\,a^3} = \sqrt{2{,}97\times 10^{-19}\cdot (2{,}69\times 10^{12})^3} = 2{,}41\times 10^{9}\ \text{s}$$o$$T = \sqrt{a^3} = \sqrt{(17{,}94)^3} = 76{,}0\ \text{años}$$0,25 p. Edmond Halley nació en 1656; por tanto, pudo ver el cometa por primera vez en el año 1682. La siguiente aparición del cometa Halley tuvo lugar en el año 1758, 16 años después de la muerte de Edmond Halley; por tanto, solo pudo observar el cometa una vez, en el año 1682.

b)

0,75 p. La velocidad será máxima en el punto más próximo al Sol, es decir, en el perihelio. Esta conclusión se puede justificar de dos maneras diferentes; cualquiera de ellas es válida:

• Segunda ley de Kepler. La segunda ley de Kepler establece que un segmento rectilíneo que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Por tanto, para barrer la misma área cuando está en el punto más próximo, es necesario que recorra una distancia mayor para mantener el área constante.
• Conservación de la energía mecánica. La energía mecánica se expresa como $E_m = \dfrac{1}{2}m_H v^2 - G\,\dfrac{m_H M_{Sol}}{r}$. Como la energía mecánica es constante, la velocidad será máxima cuando el término $G\,\dfrac{m_H M_{Sol}}{r}$ sea máximo, es decir, cuando la distancia $r$ sea mínima.

Por otra parte, es parcialmente correcto:

• Conservación del momento angular. El módulo del momento angular es $L = m\,r\,v\sin\theta$, donde $\theta$ es el ángulo que forman $\vec r$ y $\vec v$. Como el momento angular es constante, $v\sin\theta$ será máximo cuando la distancia $r$ sea mínima. Este argumento es parcialmente correcto, ya que en el perihelio $\sin\theta$ es máximo; por tanto, no podemos garantizar que la velocidad sea máxima. En este caso se valorará con 0,5 p.

0,5 p. Como en el perihelio y en el afelio $\vec r$ y $\vec v$ son perpendiculares, $\theta = \pi/2$ y $\sin\theta = 1$.

Por tanto, si imponemos la conservación del momento angular entre el perihelio y el afelio, tenemos:$$m_H\,r_P\,v_P = m_H\,r_A\,v_A \;\Rightarrow\; v_P = v_A\,\frac{r_A}{r_P} = 896\,\frac{35{,}3}{0{,}575} = 5{,}5\times 10^{4}\ \text{m/s}$$Nota para los correctores: no se penalizará que el estudiante utilice directamente la expresión $L = m\,r\,v$ sin justificarla.

Alternativamente, se puede plantear la conservación de la energía mecánica:$$\frac{1}{2}m_H v_A^2 - G\,\frac{m_H M_{Sol}}{r_A} = \frac{1}{2}m_H v_P^2 - G\,\frac{m_H M_{Sol}}{r_P}$$Si simplificamos la masa del cometa, tenemos:$$\frac{1}{2}v_A^2 - G\,\frac{M_{Sol}}{r_A} = \frac{1}{2}v_P^2 - G\,\frac{M_{Sol}}{r_P}$$Y si despejamos la velocidad en el perihelio:$$v_P = \sqrt{v_A^2 + 2 G M_{Sol}\left(\frac{1}{r_P} - \frac{1}{r_A}\right)} = \sqrt{896^2 + \frac{2\times 6{,}67\times 10^{-11}\times 1{,}99\times 10^{30}}{1{,}50\times 10^{11}}\left(\frac{1}{0{,}575} - \frac{1}{35{,}3}\right)} = 5{,}5\times 10^{4}\ \text{m/s}$$