FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2026 · Julio

Enunciado

El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol, tapando la luz procedente del Sol. Lo especial de este eclipse es que la Luna estará en el perigeo orbital, justo a la mínima distancia de la Tierra, lo que permitirá que la sombra proyectada por la Luna sea más ancha y duradera que en otros eclipses. Para observar este fenómeno, unos científicos han construido un telescopio que irá embarcado en un satélite artificial de masa total

m = 1000\,\text{kg}

, orbitando a una altura

h = 500\,\text{km}

sobre la superficie de la Tierra.

A1) (1 punto) Halle el periodo de rotación del satélite artificial y obtenga su velocidad en esa órbita.

A2) (1 punto) Deduzca y calcule la energía (de satelización) necesaria para poner en órbita el satélite artificial y su velocidad inicial.

Datos:

R_T = 6{,}37\cdot 10^{3}\,\text{km}

;

M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}

;

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;v = 7{,}61\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\qquad T = 5{,}67\cdot 10^{3}\ \text{s}\ (94{,}5\ \text{min})\;}

\boxed{\;\Delta E = 3{,}35\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad v_0 = 8{,}19\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En una órbita circular la gravedad hace de fuerza centrípeta: de ahí sale la velocidad, y con ella el periodo (

T = 2\pi r/v

).

La energía de satelización es lo que hay que aportarle al satélite para pasar de estar en reposo en el suelo a estar en su órbita: la diferencia entre la energía mecánica en la órbita y la que tiene en la superficie. Si toda esa energía se le diera de golpe en forma de energía cinética en el lanzamiento, la velocidad correspondiente es la «velocidad inicial» que pide el enunciado.

Desarrollo

A1) Radio de la órbita:

r = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 5{,}0\cdot 10^{5} = 6{,}87\cdot 10^{6}\ \text{m}

Gravedad = fuerza centrípeta:

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{6{,}87\cdot 10^{6}}} = 7{,}61\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

Periodo:

T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 6{,}87\cdot 10^{6}}{7{,}61\cdot 10^{3}} = 5{,}67\cdot 10^{3}\ \text{s}\ \ (\approx 94{,}5\ \text{min})

A2) Energía mecánica en la órbita circular (la cinética es la mitad de la potencial, en valor absoluto):

E_{\text{órb}} = -\frac{G M_T m}{r} + \frac12 m v^2 = -\frac{G M_T m}{2r} = -\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 1000}{2\cdot 6{,}87\cdot 10^{6}} = -2{,}90\cdot 10^{10}\ \text{J}

Energía en reposo en la superficie (despreciando la rotación de la Tierra):

E_{\text{sup}} = -\frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 1000}{6{,}37\cdot 10^{6}} = -6{,}25\cdot 10^{10}\ \text{J}

Energía de satelización:

\Delta E = E_{\text{órb}} - E_{\text{sup}} = G M_T m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2r}\right) = 3{,}35\cdot 10^{10}\ \text{J}

Si se le comunicara toda como energía cinética en el lanzamiento:

\frac12 m v_0^2 = \Delta E \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{\frac{2\,\Delta E}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 3{,}35\cdot 10^{10}}{1000}} = 8{,}19\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

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Consejo

La energía de satelización no es la energía de la órbita: es la diferencia entre la de la órbita y la del suelo. Y fíjate en que la velocidad de lanzamiento ( $8{,}19\,\text{km/s}$ ) es mayor que la orbital ( $7{,}61\,\text{km/s}$ ): parte de la energía se gasta en subir.