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Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

Enunciado

Diez gramos de unos restos óseos contienen actualmente

9{,}5\times10^{8}

átomos de carbono-14 por gramo. Se sabe que, en el momento de la muerte del animal del que proceden esos huesos, la proporción isotópica era la del carbono atmosférico, es decir, había

6{,}9\times10^{9}

átomos de C-14 por gramo.

a) (1 punto)

a.1) Escribe la expresión para la ley de desintegración exponencial radiactiva y explica el significado físico de cada magnitud. (0,25 puntos)

a.2) Haz una representación gráfica cualitativa de la ley; esto es, dibuja la curva e indica en la figura las magnitudes y sus correspondientes unidades. (0,25 puntos)

a.3) Deduce la relación entre la constante de desintegración

\lambda

y el periodo de semidesintegración

t_{1/2}

. (0,25 puntos)

a.4) Calcula la constante de desintegración

\lambda

del C-14, sabiendo que

t_{1/2}(\text{C-14}) = 5730\,\text{años}

. (0,25 puntos)

b) (0,5 puntos)

b.1) Calcula el número total de átomos de C-14 que contiene actualmente la muestra de

10\,\text{g}

. (0,25 puntos)

b.2) Calcula el número total de átomos de C-14 que contenía la misma muestra en el momento de la muerte. (0,25 puntos)

c) Estima la antigüedad de los restos óseos. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

N = N_0e^{-\lambda t}

; curva exponencial decreciente desde

N_0

;

t_{1/2} = \ln2/\lambda

;

\lambda = 1{,}21\times10^{-4}\,\text{años}^{-1} = 3{,}83\times10^{-12}\,\text{s}^{-1}

.

b)

N = 9{,}5\times10^{9}

átomos ahora;

N_0 = 6{,}9\times10^{10}

átomos al morir.

c)

t \approx 1{,}64\times10^{4}

años (unos 16 400 años).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Mientras el animal vive intercambia carbono con la atmósfera y su proporción de C-14 es la del aire. Al morir deja de incorporarlo y el C-14 que tenía se va desintegrando según la ley exponencial. Comparando cuántos núcleos quedan con cuántos había al principio, y conociendo la rapidez de la desintegración (la constante

\lambda

, que sale del periodo de semidesintegración), despejamos el tiempo con logaritmos. Como

\lambda

va en años⁻¹, el tiempo sale directamente en años.

Desarrollo

a.1) Ley de desintegración.

N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}

$N(t)$ : número de núcleos radiactivos que quedan sin desintegrar en el instante $t$ .
$N_0$ : número de núcleos radiactivos en el instante inicial ( $t = 0$ ).
$\lambda$ : constante de desintegración (s⁻¹ o años⁻¹), la probabilidad por unidad de tiempo de que un núcleo se desintegre; es propia de cada isótopo.
$t$ : tiempo transcurrido desde el instante inicial.

a.2) Gráfica. En el eje horizontal, el tiempo

t

(en s o en años); en el vertical, el número de núcleos

N

(adimensional, un número de átomos). La curva parte de

N_0

t = 0

y decrece exponencialmente, cada vez más despacio, acercándose al eje horizontal sin llegar a tocarlo. Conviene marcar

t_{1/2}

, donde

N = N_0/2

; en

2t_{1/2}

N = N_0/4

; en

3t_{1/2}

N = N_0/8

.

a.3) Relación entre $\lambda$ y $t_{1/2}$ . El periodo de semidesintegración es el tiempo en que se reduce a la mitad el número de núcleos:

N(t_{1/2}) = N_0/2

\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda t_{1/2}}\quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{1}{2} = -\lambda t_{1/2}\quad\Longrightarrow\quad t_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda}

a.4) Constante del C-14.

\lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730\,\text{años}} = 1{,}21\times10^{-4}\,\text{años}^{-1}

En el SI:

\lambda = \dfrac{1{,}21\times10^{-4}}{3{,}156\times10^{7}\,\text{s}} = 3{,}83\times10^{-12}\,\text{s}^{-1}

.

b.1) Átomos de C-14 actuales.

N = 9{,}5\times10^{8}\,\frac{\text{átomos}}{\text{g}}\cdot10\,\text{g} = 9{,}5\times10^{9}\ \text{átomos}

b.2) Átomos de C-14 al morir.

N_0 = 6{,}9\times10^{9}\,\frac{\text{átomos}}{\text{g}}\cdot10\,\text{g} = 6{,}9\times10^{10}\ \text{átomos}

c) Planteamiento. Desde la muerte,

N = N_0\,e^{-\lambda t}

. Tomando logaritmos:

\ln\frac{N}{N_0} = -\lambda t\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{N_0}{N}

Cálculo.

\dfrac{N_0}{N} = \dfrac{6{,}9\times10^{10}}{9{,}5\times10^{9}} = 7{,}26

t = \frac{\ln7{,}26}{1{,}21\times10^{-4}\,\text{años}^{-1}} = \frac{1{,}983}{1{,}21\times10^{-4}} \approx 1{,}64\times10^{4}\,\text{años}

Los restos tienen unos

16\,400

años. Es razonable: queda alrededor de 1/7 del C-14 inicial, entre

1/4

(dos periodos,

11\,460

años) y

1/8

(tres periodos,

17\,190

años).

Consejo

El criterio da la mitad de los puntos de c) al despeje simbólico de $t$ : escríbelo antes de meter números. Fíjate en que la masa de la muestra no hace falta para la edad (se cancela en $N/N_0$ ), y mantén $\lambda$ y $t$ en las mismas unidades de tiempo; si usas $\lambda$ en s⁻¹, la edad sale en segundos y hay que pasarla a años.