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Problema resuelto de Física: Óptica geométrica: lentes y espejosSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

Enunciado

Disponemos de dos lentes delgadas: una lupa de potencia

P_1 = +3\,\text{D}

; una lente de gafas de potencia

P_2 = -3\,\text{D}

.

a) Indica cuál de las dos lentes sería adecuada para construir un proyector de imágenes (por ejemplo, para proyectar sobre una pantalla la imagen de una diapositiva). Justifica la elección atendiendo al tipo de lente (convergente/divergente) y al tipo de imagen que forma (real/virtual). Calcula la distancia focal imagen

f'

de la lente elegida (en metros y en centímetros). (1 punto)

b) Supón ahora que se utiliza la lente elegida para proyectar una diapositiva de altura

h = 2{,}40\,\text{cm}

sobre una pantalla situada a una distancia

D = 2{,}00\,\text{m}

de la lente. (0,5 puntos)

b.1) Determina a qué distancia de la lente debe colocarse la diapositiva para que la imagen se forme nítidamente sobre la pantalla. (0,25 puntos)

b.2) Calcula el aumento lateral del sistema y la altura de la imagen proyectada sobre la pantalla. (0,25 puntos)

c) Análisis de las propiedades de la imagen: (1 punto)

c.1) Indica la orientación de la imagen obtenida en b) (derecha o invertida) y justifica la respuesta a partir del signo del aumento. (0,25 puntos)

c.2) Si la diapositiva se coloca ahora a una distancia

s = f'/2

del centro óptico de la misma lente, determina la posición de la imagen y el aumento lateral aplicando la ecuación de lentes delgadas. (0,5 puntos)

c.3) Compara las propiedades de la imagen en ambas situaciones (proyección y

s = f'/2

): tipo (real/virtual), orientación y tamaño relativo. (0,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) La lupa de

+3\,\text{D}

(convergente, puede dar imágenes reales);

f' = 0{,}333\,\text{m} = 33{,}3\,\text{cm}

.

b)

s = -0{,}40\,\text{m}

(40 cm delante de la lente);

M = -5

;

h' = -12{,}0\,\text{cm}

(12 cm de alto).

c) Invertida (

M < 0

). Con

s = f'/2

s' = -f' = -33{,}3\,\text{cm}

M = +2

: virtual, derecha y doble; en la proyección, real, invertida y cinco veces mayor.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una pantalla solo recoge imágenes reales: la luz tiene que llegar de verdad a ella. Una lente divergente da siempre imágenes virtuales de objetos reales, así que el proyector necesita la convergente, y además con el objeto más allá del foco. La potencia es la inversa de la distancia focal en metros. Después todo es aplicar la ecuación de las lentes delgadas con el convenio de signos (distancias a la izquierda de la lente, negativas): en b) conocemos dónde está la imagen (la pantalla) y buscamos el objeto; en c) ponemos el objeto entre el foco y la lente, que es justo como se usa una lupa.

Desarrollo

a) Elección de la lente. Para proyectar sobre una pantalla hace falta una imagen real, formada por la convergencia efectiva de los rayos. La lente de

-3\,\text{D}

es divergente: con un objeto real siempre da una imagen virtual, derecha y menor, que no se puede recoger en una pantalla. La de

+3\,\text{D}

es convergente: si el objeto está más lejos que el foco, da una imagen real e invertida. Se elige la lupa de $+3\,\text{D}$ .

Distancia focal imagen.

f' = \frac{1}{P_1} = \frac{1}{3}\,\text{m} = 0{,}333\,\text{m} = 33{,}3\,\text{cm}

b.1) Posición de la diapositiva. La imagen se forma en la pantalla, a la derecha de la lente:

s' = +2{,}00\,\text{m}

. Ecuación de las lentes delgadas:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s} = \frac{1}{s'} - \frac{1}{f'} = \frac{1}{2{,}00} - 3 = -2{,}5\,\text{m}^{-1}

s = -0{,}40\,\text{m} = -40\,\text{cm}

La diapositiva va a

40\,\text{cm}

delante de la lente, algo más allá del foco (

33{,}3\,\text{cm}

), como debe ser para tener imagen real.

b.2) Aumento lateral y tamaño de la imagen.

M = \frac{s'}{s} = \frac{2{,}00}{-0{,}40} = -5{,}0\qquad h' = M\,h = -5{,}0\cdot2{,}40 = -12{,}0\,\text{cm}

La imagen en la pantalla mide

12{,}0\,\text{cm}

.

c.1) Orientación. El aumento es negativo,

M = -5

: la imagen está invertida respecto a la diapositiva (por eso en los proyectores las diapositivas se colocan del revés). Además es cinco veces mayor.

c.2) Objeto a $f'/2$ . Ahora el objeto está entre el foco y la lente:

s = -\dfrac{f'}{2} = -0{,}167\,\text{m}

\frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} - \frac{2}{f'} = -\frac{1}{f'}\quad\Longrightarrow\quad s' = -f' = -0{,}333\,\text{m}

La imagen se forma

33{,}3\,\text{cm}

a la izquierda de la lente, del mismo lado que el objeto.

Aumento.

M = \frac{s'}{s} = \frac{-f'}{-f'/2} = +2

c.3) Comparación. Esquema de rayos de la situación de c.2): desde la punta del objeto, el rayo paralelo al eje sale por el foco imagen

F'

y el que pasa por el centro óptico no se desvía; los dos divergen tras la lente y solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás, a

33{,}3\,\text{cm}

a la izquierda: imagen virtual.

	Proyección ( $s = -40\,\text{cm}$ )	$s = f'/2$
Tipo	real (en la pantalla)	virtual (no se puede proyectar)
Orientación	invertida ( $M < 0$ )	derecha ( $M > 0$ )
Tamaño	5 veces mayor	2 veces mayor

Es el uso de la misma lente como proyector y como lupa.

Consejo

Declara el convenio de signos que usas y respétalo: el error más frecuente es poner $s = +40\,\text{cm}$ y obtener una imagen derecha, contradiciendo lo que se ve en un proyector. El signo del aumento es lo que justifica la orientación, así que escríbelo siempre con su signo.