FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Óptica geométrica: lentes y espejos

También trata: Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2026 · Junio

Enunciado

Responda a1 o a2

a1) Se sitúa un objeto luminoso delante de una lente divergente. Dibuje el trazado de rayos e indique razonadamente las características de la imagen obtenida.

a2) Una onda armónica pasa de un medio a otro. La longitud de onda en el segundo medio es la mitad del primero. Obtenga de forma justificada la relación entre: i) (0,5 puntos) las velocidades de propagación de la onda en ambos medios; ii) (0,5 puntos) la velocidad máxima de oscilación en ambos medios si no cambia la amplitud.

Responda b1 o b2

b1) Se quiere proyectar un objeto de

0{,}2

milímetros de altura con una lente convergente en una pantalla. Se coloca la pantalla a

28\,\text{cm}

a la derecha del objeto. Entre el objeto y la pantalla, a

3{,}8\,\text{cm}

del objeto, se coloca la lente convergente. Realice un esquema y determine razonadamente, indicando el criterio de signos utilizado: i) (1 punto) la distancia focal de la lente necesaria para que la imagen del objeto se enfoque sobre la pantalla; ii) (0,5 puntos) el tamaño de la imagen formada sobre la pantalla.

b2) La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación:

y(x,t) = 0{,}01\,\text{sen}(10\pi x)\cos(200\pi t)\quad\text{(S.I.)}

i) (0,25 puntos) Indique qué tipo de onda es. ii) (0,75 puntos) Calcule la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición da lugar a dicha onda. iii) (0,5 puntos) Determine la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situado en el punto

x = 10\,\text{cm}

. Razone su respuesta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a1) virtual, derecha y menor}\qquad \text{a2) } v_2 = v_1/2\text{; } v_{\text{máx}} \text{ igual}\;}

\boxed{\;f' = 3{,}28\ \text{cm}\qquad y' = -1{,}27\ \text{mm (real, invertida)}\;}

\boxed{\;\text{Estacionaria};\ A = 5\ \text{mm};\ v = 20\ \text{m}\,\text{s}^{-1};\ v_y(0{,}1) = 0\ \text{(nodo)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a1) la lente divergente con un objeto real da siempre el mismo tipo de imagen, esté donde esté el objeto: basta con dos rayos para verlo.

En a2) la idea clave es que al cambiar de medio la frecuencia no cambia (la impone el foco). Con

v = \lambda f

, si

\lambda

se reduce a la mitad, la velocidad también. La velocidad máxima de oscilación,

A\omega

, no depende del medio.

En b1) el esquema da directamente las dos distancias: el objeto está a

3{,}8\,\text{cm}

a la izquierda de la lente y la imagen (la pantalla) a

28 - 3{,}8 = 24{,}2\,\text{cm}

a la derecha. La ecuación de las lentes da la focal y el aumento lateral, el tamaño.

En b2) el producto de una función de

x

por otra de

t

delata una onda estacionaria. Se compara con

y = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)

para leer la amplitud y la velocidad de las ondas que la forman. Y para el punto

x = 10\,\text{cm}

conviene mirar primero si es un nodo.

Desarrollo

a1) Se dibuja el eje óptico, la lente divergente (segmento vertical con puntas de flecha hacia dentro), su foco imagen

F'

a la izquierda (lado del objeto) y su foco objeto

F

a la derecha, y el objeto como una flecha vertical a la izquierda de la lente. Desde la punta del objeto:

El rayo paralelo al eje sale de la lente divergiendo, como si viniera de $F'$ : su prolongación hacia atrás (a trazos) pasa por $F'$ .
El rayo que va al centro óptico sigue recto, sin desviarse.

Los rayos que salen de la lente se separan y nunca se cortan; se cortan sus prolongaciones, al mismo lado que el objeto, entre

F'

y la lente. La imagen es:

virtual (la forman prolongaciones, no se puede recoger en una pantalla),
derecha (misma orientación que el objeto),
de menor tamaño que el objeto,

y está entre el foco

F'

y la lente. Esto ocurre para cualquier posición del objeto real: con una lente divergente la imagen siempre es virtual, derecha y menor.

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a2) i) La frecuencia de una onda la fija el foco que la produce, así que no cambia al pasar de un medio a otro:

f_1 = f_2 = f

. Con

v = \lambda f

\frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2 f}{\lambda_1 f} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad v_2 = \frac{v_1}{2}

La onda se propaga en el segundo medio a la mitad de velocidad.

ii) La velocidad de oscilación de un punto del medio es

v_y = A\omega\cos(\omega t \mp kx + \varphi_0)

, cuyo valor máximo es

A\omega = 2\pi f A

. Como no cambian ni la frecuencia ni la amplitud:

\frac{v_{\text{máx},2}}{v_{\text{máx},1}} = \frac{A\,2\pi f}{A\,2\pi f} = 1

La velocidad máxima de oscilación es la misma en los dos medios. No hay que confundirla con la velocidad de propagación, que sí cambia.

b1) Criterio de signos (normas DIN): la luz va de izquierda a derecha, las distancias se miden desde el centro óptico de la lente, positivas a la derecha y negativas a la izquierda; las alturas, positivas hacia arriba.

Esquema: objeto a la izquierda de la lente convergente, pantalla a la derecha. Del rayo paralelo (que sale por

F'

) y del rayo central (que no se desvía) sale una imagen real e invertida sobre la pantalla.

Distancias:

s = -3{,}8\,\text{cm} \qquad s' = 28 - 3{,}8 = +24{,}2\,\text{cm}

i) Ecuación de las lentes delgadas:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f'} = \frac{1}{24{,}2} - \frac{1}{-3{,}8} = 0{,}0413 + 0{,}2632 = 0{,}3045\,\text{cm}^{-1}

f' = 3{,}28\,\text{cm}

Positiva, como corresponde a una lente convergente. Fíjate en que el objeto está un poco más lejos que el foco (

3{,}8 > 3{,}28

): por eso la imagen es real y sale lejos y grande.

ii) Aumento lateral:

M = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{24{,}2}{-3{,}8} = -6{,}37

y' = M\,y = -6{,}37\cdot 0{,}2\,\text{mm} = -1{,}27\,\text{mm}

La imagen mide

1{,}27\,\text{mm}

: es real (se recoge en la pantalla), invertida (signo menos) y unas 6,4 veces mayor que el objeto.

En la simulación el objeto mide

1\,\text{mm}

para que se vea; el aumento,

-6{,}37

, es el mismo.

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b2) i) La ecuación es el producto de una función solo de la posición,

\text{sen}(10\pi x)

, por otra solo del tiempo,

\cos(200\pi t)

: no contiene

\omega t \mp kx

, así que no hay nada que se propague. Es una onda estacionaria (transversal), con nodos fijos donde

\text{sen}(10\pi x) = 0

.

ii) Una onda estacionaria resulta de superponer dos ondas armónicas iguales que viajan en sentidos opuestos:

y_1 = A\,\text{sen}(kx - \omega t),\quad y_2 = A\,\text{sen}(kx + \omega t) \quad\Longrightarrow\quad y = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)

Comparando con la ecuación dada:

2A = 0{,}01\,\text{m}\ \Rightarrow\ A = 0{,}005\,\text{m} = 5\,\text{mm}

k = 10\pi\,\text{rad}\,\text{m}^{-1},\qquad \omega = 200\pi\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}

v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{10\pi} = 20\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

iii) La velocidad de oscilación es la derivada respecto del tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}01\cdot 200\pi\,\text{sen}(10\pi x)\,\text{sen}(200\pi t) = -2\pi\,\text{sen}(10\pi x)\,\text{sen}(200\pi t)\ \ \text{m}\,\text{s}^{-1}

x = 0{,}1\,\text{m}

\text{sen}(10\pi\cdot 0{,}1) = \text{sen}\,\pi = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_y(0{,}1;\,t) = 0\ \ \text{para todo } t

El punto es un nodo: con

\lambda = 2\pi/k = 0{,}2\,\text{m}

, los nodos están en

x = n\lambda/2 = 0;\ 0{,}1;\ 0{,}2\ldots\,\text{m}

. Un nodo no oscila nunca, así que su velocidad de oscilación es siempre cero.

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Consejo

En b1) la distancia imagen es la de la lente a la pantalla ( $24{,}2\,\text{cm}$ ), no la del objeto a la pantalla. Y el enunciado pide indicar el criterio de signos: escríbelo, que puntúa.

En b2) la amplitud de cada onda componente es la mitad del coeficiente: $0{,}005\,\text{m}$ , no $0{,}01$ . Antes de derivar, mira si el punto es un nodo: te ahorra la cuenta.