Óptica geométrica: lentes y espejos

a1) i) Lente divergente. Trazado con dos rayos desde el extremo del objeto real (a la izquierda de la lente):

• el rayo paralelo al eje se refracta alejándose de él, de modo que su prolongación hacia atrás pasa por el foco imagen $F'$, que en una lente divergente está a la izquierda, del lado del objeto;
• el rayo que pasa por el centro óptico no se desvía.

Los rayos refractados divergen y no se cortan; se cortan sus prolongaciones, entre $F'$ y la lente. La imagen es virtual (no se puede recoger en una pantalla), derecha y de menor tamaño que el objeto, y queda del mismo lado que él. Es así para cualquier posición del objeto real.

ii) Espejo convexo. Trazado con dos rayos desde el extremo del objeto:

• el rayo paralelo al eje se refleja de modo que su prolongación pasa por el foco $F$, situado detrás del espejo;
• el rayo dirigido hacia el centro de curvatura $C$ (también detrás) se refleja sobre sí mismo.

Los rayos reflejados divergen; sus prolongaciones se cortan detrás del espejo, entre el vértice y el foco. La imagen es virtual, derecha y menor que el objeto, también para cualquier posición del objeto real. (Es la de los retrovisores y los espejos de los cruces: menor, pero con un campo de visión amplio.)

a2) Para un oscilador masa-muelle,$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$$$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{2k}{3m}}$$$$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{\frac{k/m}{2k/3m}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = 1{,}22$$La primera masa oscila con una frecuencia angular $\sqrt{3/2} \approx 1{,}22$ veces mayor que la segunda: $\omega_2 = \sqrt{2/3}\,\omega_1 = 0{,}816\,\omega_1$. (Que el muelle cuelgue en vertical no cambia nada: el peso solo desplaza la posición de equilibrio.)

b1) Criterio de signos (DIN): origen en el vértice del espejo, la luz llega de izquierda a derecha y son positivas las distancias a la derecha del vértice y las alturas hacia arriba. El objeto real está delante (a la izquierda): $s = -3\,\text{m}$.

Un espejo convexo da siempre una imagen virtual y derecha, así que el aumento lateral es positivo:$$\beta = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s} = +\frac{1}{5} \quad\Longrightarrow\quad s' = -\frac{s}{5} = -\frac{-3}{5} = +0{,}6\ \text{m}$$La imagen se forma $0{,}6\,\text{m}$ detrás del espejo ($s' > 0$): es virtual.

Ecuación de los espejos:$$\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{2}{R} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{0{,}6} + \frac{1}{-3} = 1{,}667 - 0{,}333 = 1{,}333\ \text{m}^{-1} = \frac{2}{R}$$$$R = \frac{2}{1{,}333} = +1{,}5\ \text{m} \qquad\left(f = \frac{R}{2} = +0{,}75\ \text{m}\right)$$El signo positivo confirma que el centro de curvatura está detrás del espejo: es convexo.

Trazado de rayos: objeto a $3\,\text{m}$ delante del vértice, foco a $0{,}75\,\text{m}$ y centro a $1{,}5\,\text{m}$ detrás. El rayo paralelo al eje se refleja como si viniera de $F$; el que apunta hacia $C$ vuelve sobre sí mismo. Sus prolongaciones se cortan a $0{,}6\,\text{m}$ detrás del espejo, entre el vértice y $F$, formando una imagen virtual, derecha y cinco veces menor que el objeto.

b2) i) Al separar el bloque $5\,\text{cm}$ y soltarlo desde el reposo, esa separación es la amplitud: $A = 0{,}05\,\text{m}$. En el punto de equilibrio la velocidad es máxima:$$v_{\text{máx}} = A\,\omega \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{v_{\text{máx}}}{A} = \frac{0{,}2}{0{,}05} = 4\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$Se llega a lo mismo por energías: sin rozamiento, la energía elástica en el extremo pasa entera a cinética en el equilibrio,$$\tfrac{1}{2}\,k A^2 = \tfrac{1}{2}\,m\,v_{\text{máx}}^2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{0{,}2\cdot 0{,}2^2}{0{,}05^2} = 3{,}2\ \text{N}\,\text{m}^{-1}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{3{,}2}{0{,}2}} = 4\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$ii) Periodo:$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} = 1{,}57\ \text{s}$$Desde el extremo hasta el equilibrio el bloque recorre un cuarto de oscilación. Con $x(t) = A\cos(\omega t)$ (sale del extremo en reposo), $x = 0$ por primera vez cuando $\omega t = \pi/2$:$$t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2\,\omega} = \frac{\pi}{8} = 0{,}393\ \text{s}$$