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Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

Enunciado

Las cuerdas de un violín miden

L = 32{,}8\,\text{cm}

. Se estudia la primera cuerda, que emite la nota Mi con una frecuencia

f_{\text{Mi}} = 659{,}3\,\text{Hz}

cuando vibra en su modo fundamental.

a) Obtén la longitud de onda de la onda estacionaria en la cuerda para el modo fundamental, y la longitud de onda del sonido en el aire correspondiente a esa nota. (0,5 puntos)

b) ¿En qué punto (referido a cualquiera de los dos extremos) se debe pisar la cuerda para producir la nota La de frecuencia

f_{\text{La}} = 880{,}0\,\text{Hz}

? (1 punto)

c) En un concierto, el violinista solista toca una melodía emitiendo un sonido de potencia

P = 10^{-6}\,\text{W}

. Te unes a su lado con un violín que emite exactamente la misma nota y potencia. ¿Cuántos decibelios se medirían a una distancia de

10\,\text{m}

de vuestra posición, si:

sólo toca el violinista solista;
tocáis ambos a la vez? (1 punto)

Datos (de la tabla del examen): velocidad del sonido en el aire,

v_{\text{sonido}} = 340\,\text{m/s}

;

I_0 = 10^{-12}\,\text{W/m}^2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\lambda_{\text{cuerda}} = 0{,}656\,\text{m}

;

\lambda_{\text{aire}} = 0{,}516\,\text{m}

.

b) La parte que vibra debe medir

24{,}6\,\text{cm}

: pisar a

24{,}6\,\text{cm}

del puente (a

8{,}2\,\text{cm}

del otro extremo).

c) Un violín:

I = 7{,}96\times10^{-10}\,\text{W/m}^2

\beta \approx 29\,\text{dB}

. Dos violines:

\beta \approx 32\,\text{dB}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La cuerda está fija por los dos extremos, así que en el modo fundamental cabe media longitud de onda:

\lambda = 2L

. Esa onda estacionaria vive en la cuerda; el sonido que produce en el aire tiene la misma frecuencia, pero se propaga a

340\,\text{m/s}

, así que su longitud de onda es otra. Para cambiar de nota se pisa la cuerda: la parte que vibra se acorta y, como la velocidad de la onda en la cuerda no cambia (misma tensión, misma cuerda), la frecuencia fundamental es inversamente proporcional a la longitud que vibra. En c) el sonido se reparte por igual en todas direcciones (onda esférica): la intensidad a 10 m es la potencia entre el área de la esfera. Dos violines incoherentes suman intensidades, no decibelios.

Desarrollo

a) Longitud de onda en la cuerda. Con los dos extremos fijos (nodos), el modo fundamental tiene un solo vientre:

L = \lambda/2

\lambda_{\text{cuerda}} = 2L = 2\cdot0{,}328 = 0{,}656\,\text{m}

(La velocidad de la onda en la cuerda es

v = \lambda f = 0{,}656\cdot659{,}3 = 432{,}5\,\text{m/s}

.)

Longitud de onda en el aire. El sonido tiene la misma frecuencia que la cuerda que lo produce, pero viaja a

v_{\text{sonido}}

\lambda_{\text{aire}} = \frac{v_{\text{sonido}}}{f_{\text{Mi}}} = \frac{340}{659{,}3} = 0{,}516\,\text{m}

b) Frecuencia y longitud que vibra. En el modo fundamental,

f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{v}{2L}

. Pisar la cuerda no cambia

v

(depende de la tensión y de la densidad lineal), así que

f\propto 1/L

f_{\text{Mi}}\,L = f_{\text{La}}\,L'\quad\Longrightarrow\quad L' = L\,\frac{f_{\text{Mi}}}{f_{\text{La}}}

Cálculo.

L' = 32{,}8\cdot\frac{659{,}3}{880{,}0} = 24{,}6\,\text{cm}

Dónde pisar. La parte que vibra debe medir

24{,}6\,\text{cm}

: hay que pisar la cuerda a

24{,}6\,\text{cm}

del puente o, lo que es lo mismo, a

32{,}8 - 24{,}6 = 8{,}2\,\text{cm}

del otro extremo (la cejilla, del lado de las clavijas). Tiene sentido: una nota más aguda necesita una cuerda vibrante más corta.

c) Intensidad de un violín a 10 m. La potencia se reparte sobre una esfera de radio

r

I_1 = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{10^{-6}}{4\pi\cdot10^2} = 7{,}96\times10^{-10}\,\text{W/m}^2

Nivel sonoro con un violín.

\beta_1 = 10\log\frac{I_1}{I_0} = 10\log\frac{7{,}96\times10^{-10}}{10^{-12}} = 10\log796 = 29{,}0\,\text{dB}

Dos violines. Las intensidades se suman:

I_2 = 2I_1 = 1{,}59\times10^{-9}\,\text{W/m}^2

\beta_2 = 10\log\frac{2I_1}{I_0} = \beta_1 + 10\log2 = 29{,}0 + 3{,}0 = 32{,}0\,\text{dB}

Duplicar la fuente no duplica los decibelios: solo los aumenta en unos 3 dB, porque la escala es logarítmica.

Consejo

El criterio acepta la distancia desde cualquiera de los dos extremos, pero di desde cuál la mides: «24,6 cm» a secas es ambiguo. Y no sumes decibelios (29 + 29 = 58 dB es un error clásico): se suman intensidades y después se vuelve a la escala logarítmica.

Paso 1 de 3

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