FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Inducción electromagnéticaSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

País Vasco · 2026 · Junio
Enunciado
Una estación meteorológica instalada en una zona montañosa aislada de la red eléctrica alimenta sus sensores con un microgenerador electromagnético. El dispositivo consiste en una espira circular plana de radio R=6,0 cmR = 6{,}0\,\text{cm}, montada sobre un eje de giro dentro de un campo magnético uniforme.

Durante las pruebas de laboratorio, el equipo de ingeniería ensaya el prototipo en dos configuraciones:
  • Configuración I (caracterización): La espira permanece fija, inicialmente situada en el plano XYXY. Un electroimán genera un campo magnético B⃗\vec B dirigido en el sentido positivo del eje OZOZ, cuyo módulo varía con el tiempo según B(t)=3t2B(t) = 3t^2 (BB en teslas, tt en segundos).
  • Configuración II (modo generador): El campo magnético, de módulo constante B0=8,0 mTB_0 = 8{,}0\,\text{mT}, está creado por imanes permanentes y dirigido en el sentido positivo del eje OZOZ. La espira gira alrededor del eje OYOY con velocidad angular constante ω=60 rad/s\omega = 60\,\text{rad/s}, partiendo del plano XYXY en el instante t=0t = 0.
a) Para diseñar el sistema de detección de la señal eléctrica del generador, los ingenieros necesitan conocer los fundamentos de la inducción electromagnética. (0,5 puntos)

a.1) Expresa matemáticamente el flujo del campo magnético a través de una superficie plana inmersa en un campo uniforme. Escribe su expresión matemática e indica el significado de cada magnitud. (0,25 puntos)

a.2) Enuncia la ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética y explica el significado físico del signo negativo en la expresión de la fuerza electromotriz inducida. (0,25 puntos)

b) Configuración I, Caracterización - electroimán variable (1 punto)

b.1) Justifica que, cuando el dispositivo está en esta configuración, el ángulo entre B⃗\vec B y el vector unitario normal a la espira, n^\hat n, es constante, e indica su valor. Escribe la expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo. (0,25 puntos)

b.2) Deduce, aplicando la ley de Faraday, la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo. (0,25 puntos)

b.3) Calcula el valor numérico de la fem inducida en el instante t=7,0 mst = 7{,}0\,\text{ms}. Expresa los resultados en notación científica con dos decimales e indica sus unidades. (0,5 puntos)

c) Configuración II - modo generador (1 punto)

c.1) Escribe la expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo y, a partir de ella, deduce la expresión de la fem inducida. Calcula el valor de la fem en el instante t=7,0 mst = 7{,}0\,\text{ms}. (0,5 puntos)

c.2) Las especificaciones técnicas del sensor meteorológico exigen que el generador proporcione una fem máxima de al menos 0,50 mV0{,}50\,\text{mV}. Indica si el prototipo actual cumple este requisito. (0,5 puntos)
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Resultado
a) Φ=BScos⁡θ\Phi = BS\cos\theta; ε=−dΦ/dt\varepsilon = -d\Phi/dt (Lenz: se opone a la variación de flujo).

b) θ=0∘\theta = 0^\circ; Φ=3,39×10−2 t2\Phi = 3{,}39\times10^{-2}\,t^2 Wb; ε(t)=−6,79×10−2 t\varepsilon(t) = -6{,}79\times10^{-2}\,t V; en t=7,0t = 7{,}0 ms, ε=−4,75×10−4\varepsilon = -4{,}75\times10^{-4} V.

c) Φ=B0πR2cos⁡ωt\Phi = B_0\pi R^2\cos\omega t, ε=B0πR2ωsin⁡ωt\varepsilon = B_0\pi R^2\omega\sin\omega t; en t=7,0t = 7{,}0 ms, ε=2,21×10−3\varepsilon = 2{,}21\times10^{-3} V; εmaˊx=5,4\varepsilon_{\text{máx}} = 5{,}4 mV > 0,50 mV: cumple.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Las dos configuraciones son las dos maneras de cambiar el flujo a través de una espira: variar el campo (I) o variar el ángulo entre el campo y la espira (II). En los dos casos el procedimiento es el mismo: escribir el flujo Φ(t)=B Scos⁡θ\Phi(t) = B\,S\cos\theta como función del tiempo y derivarlo para obtener la fem con la ley de Faraday. En la I la espira está quieta en el plano XYXY y el campo apunta según ZZ, así que el ángulo es fijo y lo que cambia es BB. En la II el campo es fijo y lo que cambia es el ángulo, θ=ωt\theta = \omega t: sale una fem sinusoidal (corriente alterna), cuyo máximo es B0SωB_0 S\omega.
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Desarrollo

a.1) Flujo magnético. Para una superficie plana SS en un campo uniforme B⃗\vec B:Φ=B⃗⋅S⃗=B Scos⁡θ\Phi = \vec B\cdot\vec S = B\,S\cos\thetadonde BB es el módulo del campo magnético (T), SS el área de la superficie (m²), S⃗=S n^\vec S = S\,\hat n el vector superficie, perpendicular a ella, y θ\theta el ángulo que forman B⃗\vec B y la normal n^\hat n. El flujo se mide en weber (1 Wb=1 T m21\,\text{Wb} = 1\,\text{T}\,\text{m}^2) y cuenta, en la práctica, cuántas líneas de campo atraviesan la superficie.

a.2) Ley de Faraday-Lenz. La fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual a la rapidez con que varía el flujo magnético que lo atraviesa, cambiada de signo:ε=−dΦdt\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}Significado del signo. Es la ley de Lenz: la corriente inducida circula en el sentido en que su propio campo magnético se opone a la variación de flujo que la produce. Si el flujo aumenta, el campo inducido va en contra del externo; si disminuye, a favor. Es una consecuencia de la conservación de la energía.

b.1) Ángulo constante. La espira está fija en el plano XYXY, así que su normal n^\hat n apunta siempre según el eje ZZ; el campo B⃗\vec B también va siempre en el sentido positivo de OZOZ (solo cambia su módulo). Tomando n^=+k⃗\hat n = +\vec k, los dos vectores son paralelos en todo instante: θ=0∘\theta = 0^\circ, constante.

Flujo. El área de la espira es S=πR2=π (0,060)2=1,13×10−2 m2S = \pi R^2 = \pi\,(0{,}060)^2 = 1{,}13\times10^{-2}\,\text{m}^2:Φ(t)=B(t) Scos⁡0∘=3t2⋅πR2=3,39×10−2 t2  Wb(t en s)\Phi(t) = B(t)\,S\cos0^\circ = 3t^2\cdot\pi R^2 = 3{,}39\times10^{-2}\,t^2\ \ \text{Wb}\quad(t\ \text{en s})b.2) Fem inducida. Derivamos:ε(t)=−dΦdt=−6πR2 t=−6,79×10−2 t  V\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -6\pi R^2\,t = -6{,}79\times10^{-2}\,t\ \ \text{V}El signo menos indica que la corriente inducida circula de forma que su campo apunta hacia −Z-Z, oponiéndose al aumento del flujo.

b.3) Valor en t=7,0 mst = 7{,}0\,\text{ms}.ε=−6,79×10−2⋅7,0×10−3=−4,75×10−4 V\varepsilon = -6{,}79\times10^{-2}\cdot7{,}0\times10^{-3} = -4{,}75\times10^{-4}\,\text{V}Es decir, ∣ε∣=4,75×10−4 V≈0,48 mV|\varepsilon| = 4{,}75\times10^{-4}\,\text{V} \approx 0{,}48\,\text{mV}.

c.1) Flujo en el modo generador. Al girar alrededor de OYOY partiendo del plano XYXY, la normal de la espira empieza paralela a B⃗\vec B (θ=0\theta = 0 en t=0t = 0) y el ángulo crece uniformemente, θ=ωt\theta = \omega t:Φ(t)=B0 Scos⁡(ωt)=B0 πR2cos⁡(ωt)\Phi(t) = B_0\,S\cos(\omega t) = B_0\,\pi R^2\cos(\omega t)Fem. Derivando:ε(t)=−dΦdt=B0 πR2 ω sin⁡(ωt)\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = B_0\,\pi R^2\,\omega\,\sin(\omega t)Amplitud. B0Sω=8,0×10−3⋅1,13×10−2⋅60=5,43×10−3 VB_0 S\omega = 8{,}0\times10^{-3}\cdot1{,}13\times10^{-2}\cdot60 = 5{,}43\times10^{-3}\,\text{V}, así que ε(t)=5,43×10−3sin⁡(60 t)\varepsilon(t) = 5{,}43\times10^{-3}\sin(60\,t) V.

Valor en t=7,0 mst = 7{,}0\,\text{ms}. El ángulo es ωt=60⋅7,0×10−3=0,42 rad\omega t = 60\cdot7{,}0\times10^{-3} = 0{,}42\,\text{rad} (la calculadora, en radianes):ε=5,43×10−3⋅sin⁡(0,42)=5,43×10−3⋅0,408=2,21×10−3 V\varepsilon = 5{,}43\times10^{-3}\cdot\sin(0{,}42) = 5{,}43\times10^{-3}\cdot0{,}408 = 2{,}21\times10^{-3}\,\text{V}c.2) Fem máxima. El seno vale como mucho 1:εmaˊx=B0 πR2 ω=5,43×10−3 V=5,4 mV\varepsilon_{\text{máx}} = B_0\,\pi R^2\,\omega = 5{,}43\times10^{-3}\,\text{V} = 5{,}4\,\text{mV}Como 5,4 mV>0,50 mV5{,}4\,\text{mV} > 0{,}50\,\text{mV}, el prototipo cumple el requisito con mucho margen (unas once veces más de lo exigido).
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Consejo

Pon la calculadora en radianes antes de calcular sin⁡(ωt)\sin(\omega t): con sin⁡(0,42∘)\sin(0{,}42^\circ) sale una fem unas cincuenta veces menor y el apartado se pierde. El corrector acepta trabajar con el módulo de la fem, pero quiere ver primero Φ(t)\Phi(t) y su derivada en forma simbólica, y las unidades (Wb, V) en cada resultado. No olvides pasar el radio a metros.
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