Inducción electromagnética

a1) Si la espira, de lado $L$ y superficie $S = L^2$, gira con $\omega = 2\pi f$ en un campo $B$ perpendicular al eje de giro, el flujo es $\Phi = B S\cos(\omega t)$ y, por Faraday,$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = B\,S\,\omega\,\text{sen}(\omega t) \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_{\text{máx}} = B\,L^2\,2\pi f$$

• Lado triplicado, $f$ constante: $S' = (3L)^2 = 9L^2$, luego $\varepsilon'_{\text{máx}} = 9\,\varepsilon_{\text{máx}}$. La f.e.m. máxima se hace nueve veces mayor.
• Frecuencia cuadruplicada, lado constante: $\omega' = 4\omega$, luego $\varepsilon'_{\text{máx}} = 4\,\varepsilon_{\text{máx}}$. La f.e.m. máxima se hace cuatro veces mayor (y, además, la f.e.m. alterna oscila cuatro veces más rápido).

a2) i) Sobre una carga en un campo magnético actúa la fuerza de Lorentz, $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$, cuyo módulo con $\vec v\perp\vec B$ es$$F = |q|\,v\,B$$El electrón y el protón tienen cargas de igual valor absoluto, $e$, y entran con la misma velocidad en el mismo campo: la fuerza tiene el mismo módulo sobre las dos partículas. Lo que cambia es el sentido: al tener cargas de signo contrario, las fuerzas son opuestas.

Esquema: campo $\vec B$ entrante en el papel ($\otimes$) y las dos partículas entrando hacia la derecha con la misma $\vec v$. Sobre el protón, $\vec v\times\vec B$ apunta hacia arriba y la fuerza va hacia arriba; sobre el electrón, la fuerza va hacia abajo, con la misma longitud de flecha. Cada partícula se curva hacia su lado.

ii) La fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta:$$|q|\,v\,B = \frac{m\,v^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{|q|\,B}$$Con la misma $v$, la misma $|q|$ y el mismo $B$, el radio es proporcional a la masa. Como $m_p \approx 1836\,m_e$, el protón describe la circunferencia de mayor radio (unas 1836 veces mayor): misma fuerza, pero mucha más inercia, así que se curva mucho menos.

b1) i) La f.e.m. inducida en la bobina de $N = 800$ espiras es, por la ley de Faraday:$$\varepsilon(t) = -N\,\frac{d\phi}{dt} = -N\,\frac{d}{dt}\left[10^{-6}\cos(2\pi f t)\right] = N\cdot 10^{-6}\cdot 2\pi f\,\text{sen}(2\pi f t)$$$$\varepsilon_{\text{máx}} = 800\cdot 10^{-6}\cdot 2\pi\cdot 350 = 1{,}76\ \text{V}$$$$\varepsilon(t) = 1{,}76\,\text{sen}(700\pi\,t)\ \text{V}$$ii) Por la ley de Ohm, la corriente es máxima cuando lo es la f.e.m.:$$I_{\text{máx}} = \frac{\varepsilon_{\text{máx}}}{R} = \frac{1{,}76}{50} = 3{,}52\cdot 10^{-2}\ \text{A}$$iii) La amplitud de la f.e.m. es $\varepsilon_{\text{máx}} = N\,\phi_0\,2\pi f$, proporcional a la frecuencia. Si $f$ se reduce a la mitad, $f' = 175\,\text{Hz}$:$$\varepsilon'_{\text{máx}} = \frac{\varepsilon_{\text{máx}}}{2} = 800\cdot 10^{-6}\cdot 2\pi\cdot 175 = 0{,}880\ \text{V}$$La f.e.m. máxima se reduce a la mitad: el flujo cambia igual de mucho, pero en el doble de tiempo. Por eso los sensores ABS dan menos señal cuando la rueda gira despacio.

b2) i) Distancias de P a los hilos: $d_1 = 5\,\text{cm} = 0{,}05\,\text{m}$ y $d_2 = 20 - 5 = 15\,\text{cm} = 0{,}15\,\text{m}$.$$B_1 = \frac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,d_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 10}{2\pi\cdot 0{,}05} = 4\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$$$B_2 = \frac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,d_2} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 5}{2\pi\cdot 0{,}15} = 6{,}67\cdot 10^{-6}\ \text{T}$$Sentidos (regla de la mano derecha, corrientes hacia $+Z$, saliendo del plano $XY$): las líneas de campo giran en sentido antihorario vistas desde $+Z$.

• P está a la derecha del hilo 1 ($+X$): allí $\vec B_1$ apunta hacia $+\vec j$.
• P está a la izquierda del hilo 2 ($-X$): allí $\vec B_2$ apunta hacia $-\vec j$.

$$\vec B = \vec B_1 + \vec B_2 = (4\cdot 10^{-5} - 6{,}67\cdot 10^{-6})\,\vec j = 3{,}33\cdot 10^{-5}\,\vec j\ \ \text{T}$$Esquema: plano $XY$ con los dos hilos como puntos $\odot$ (corriente saliente) en $x = 0$ y $x = 20\,\text{cm}$, el punto P en $x = 5\,\text{cm}$, $\vec B_1$ hacia arriba (larga) y $\vec B_2$ hacia abajo (corta), y su suma hacia arriba.

ii) El electrón entra con $\vec v = 10^{5}\,\vec k\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$ y su carga es $q = -e$:$$\vec F = q\,\vec v\times\vec B = (-1{,}6\cdot 10^{-19})\,(10^{5}\,\vec k)\times(3{,}33\cdot 10^{-5}\,\vec j)$$Como $\vec k\times\vec j = -\vec i$:$$\vec F = (-1{,}6\cdot 10^{-19})\cdot 3{,}33\cdot(-\vec i) = 5{,}33\cdot 10^{-19}\,\vec i\ \ \text{N}$$La fuerza apunta hacia $+X$, es decir, hacia el hilo 2 (alejándose del hilo 1). Es coherente con lo que se sabe de corrientes: un electrón que se mueve hacia $+Z$ equivale a una corriente hacia $-Z$, opuesta a la del hilo 1, que domina en P, y las corrientes opuestas se repelen.