FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Inducción electromagnética

También trata: Campo y potencial eléctrico

Andalucía · 2026 · Junio

Enunciado

Responda a1 o a2

a1) Indique, razonando sus respuestas, si los siguientes enunciados son ciertos: i) (0,5 puntos) si el flujo magnético a través de una superficie es cero entonces necesariamente el campo magnético es nulo; ii) (0,5 puntos) la fuerza electromotriz inducida será no nula si el flujo es no nulo.

a2) Dos partículas idénticas, de carga

q

y masa

m

, están separadas una distancia

d

. Se mantiene fija una de las partículas y se deja que la otra se aleje por acción de la fuerza electrostática hasta duplicar la distancia inicial con la primera. i) (0,75 puntos) Determine la expresión del módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final. ii) (0,25 puntos) Indique cómo cambiaría el módulo de la velocidad si se duplicase el valor de las cargas.

Responda b1 o b2

b1) En un parque eólico del estrecho de Gibraltar, un aerogenerador posee una espira circular de área

40\,\text{cm}^2

que gira a

1500\,\text{rpm}

alrededor de un eje que pasa por su diámetro y es perpendicular a un campo magnético uniforme de módulo

0{,}25\,\text{T}

. La espira tiene una resistencia de

10\,\Omega

. Considere que en

t = 0\,\text{s}

el flujo es máximo. i) (0,75 puntos) Determine el flujo magnético en función del tiempo. ii) (0,75 puntos) Calcule la fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducida en la espira en función del tiempo. ¿La corriente en la espira es continua o alterna?

b2) Un electrón se lanza desde el infinito con una velocidad inicial de

10^{7}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

hacia una carga puntual de

-5\,\mu\text{C}

que permanece fija. i) (1 punto) Determine la distancia a la carga puntual en la que se anula la velocidad del electrón. ii) (0,5 puntos) Calcule el módulo y carácter (atractiva o repulsiva) de la fuerza a esa distancia.

Datos:

k = 9\cdot 10^{9}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}

;

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

;

m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a1) i) Falso; ii) Falso}\qquad \text{a2) } v = q\sqrt{\tfrac{k}{md}}\text{; se duplica}\;}

\boxed{\;\Phi = 10^{-3}\cos(50\pi t)\ \text{Wb};\ \varepsilon = 0{,}157\,\text{sen}(50\pi t)\ \text{V};\ I = 0{,}0157\,\text{sen}(50\pi t)\ \text{A, alterna}\;}

\boxed{\;r = 158\ \text{m};\quad F = 2{,}88\cdot 10^{-19}\ \text{N, repulsiva}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a1) todo gira alrededor de dos fórmulas:

\Phi = BS\cos\theta

\varepsilon = -d\Phi/dt

. El flujo puede ser cero con campo, si el campo es paralelo a la superficie; y la f.e.m. depende de cómo cambia el flujo, no de cuánto vale.

En a2) la fuerza eléctrica es conservativa: la energía potencial que pierde el sistema al separarse las cargas se convierte en energía cinética de la partícula que se mueve.

En b1) es el alternador de libro: al girar, el ángulo entre

\vec{B}

y la normal a la espira es

\omega t

, así que el flujo es un coseno y su derivada da una f.e.m. senoidal. Corriente alterna.

En b2) de nuevo conservación de la energía. Electrón y carga fija son negativos y se repelen: el electrón frena hasta pararse en el punto donde toda su energía cinética se ha convertido en potencial.

Desarrollo

a1) i) Falso. El flujo a través de una superficie es

\Phi = \vec{B}\cdot\vec{S} = B\,S\cos\theta

con

\theta

el ángulo entre

\vec{B}

y el vector superficie (normal). Si el campo es paralelo a la superficie,

\theta = 90^\circ

\Phi = 0

aunque

B \neq 0

. Otro ejemplo: el flujo a través de cualquier superficie cerrada es siempre nulo (las líneas de campo magnético son cerradas), aunque dentro haya campo.

ii) Falso. Por la ley de Faraday,

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}

la f.e.m. depende de la variación del flujo con el tiempo. Una espira quieta en un campo constante tiene flujo no nulo y constante, y la f.e.m. es cero. Al revés, puede haber f.e.m. en el instante en que el flujo vale cero (es lo que pasa en b1)).

a2) i) La única fuerza que trabaja es la electrostática, conservativa, así que se conserva la energía. La partícula parte del reposo a distancia

d

y llega a

2d

\frac{k q^2}{d} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{k q^2}{2d}

\frac{1}{2} m v^2 = \frac{k q^2}{d} - \frac{k q^2}{2d} = \frac{k q^2}{2d} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{k q^2}{m d}} = q\sqrt{\frac{k}{m d}}

ii) La velocidad es proporcional a la carga (

v \propto q

). Si se duplican las dos cargas, la energía potencial (

\propto q^2

) se multiplica por 4 y la velocidad, por

\sqrt{4} = 2

: se duplica.

b1) Datos en el SI:

S = 40\,\text{cm}^2 = 4\cdot 10^{-3}\,\text{m}^2

\omega = 1500\,\frac{\text{rev}}{\text{min}}\cdot\frac{2\pi\,\text{rad}}{1\,\text{rev}}\cdot\frac{1\,\text{min}}{60\,\text{s}} = 50\pi\,\text{rad}\,\text{s}^{-1} = 157{,}1\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}

i) El eje de giro es perpendicular a

\vec{B}

, así que el ángulo entre

\vec{B}

y la normal a la espira va cambiando:

\theta = \omega t

(en

t = 0

el flujo es máximo,

\theta = 0

\Phi(t) = B S\cos(\omega t) = 0{,}25\cdot 4\cdot 10^{-3}\cos(50\pi t) = 10^{-3}\cos(50\pi t)\ \text{Wb}

ii) Ley de Faraday:

\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = B S\omega\,\text{sen}(\omega t) = 10^{-3}\cdot 50\pi\,\text{sen}(50\pi t) = 0{,}157\,\text{sen}(50\pi t)\ \text{V}

Ley de Ohm:

I(t) = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0{,}157}{10}\,\text{sen}(50\pi t) = 1{,}57\cdot 10^{-2}\,\text{sen}(50\pi t)\ \text{A}

La corriente cambia de sentido cada media vuelta: es alterna, de frecuencia

f = \omega/2\pi = 25\,\text{Hz}

. Fíjate en que la f.e.m. es máxima cuando el flujo es nulo y al revés: van desfasadas

90^\circ

.

En la simulación la espira es circular de radio

r = \sqrt{S/\pi} = 0{,}0357\,\text{m}

(los mismos

40\,\text{cm}^2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b2) i) La fuerza entre el electrón (

q = -e

) y la carga fija (

Q = -5\cdot 10^{-6}\,\text{C}

) es repulsiva, así que el electrón va frenando. Como es conservativa, se conserva la energía. En el infinito la energía potencial es nula; en el punto de parada la cinética es nula:

\frac{1}{2} m_e v_0^2 = \frac{k Q q}{r}

Energía cinética inicial:

E_{c,0} = \frac{1}{2}\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot (10^{7})^2 = 4{,}55\cdot 10^{-17}\,\text{J}

Producto

kQq = 9\cdot 10^{9}\cdot(-5\cdot 10^{-6})\cdot(-1{,}6\cdot 10^{-19}) = 7{,}2\cdot 10^{-15}\,\text{J}\,\text{m}

(positivo: repulsión). Despejando:

r = \frac{k Q q}{E_{c,0}} = \frac{7{,}2\cdot 10^{-15}}{4{,}55\cdot 10^{-17}} = 158{,}2\,\text{m}

ii) Ley de Coulomb a esa distancia:

F = \frac{k|Q||q|}{r^2} = \frac{7{,}2\cdot 10^{-15}}{158{,}2^2} = 2{,}88\cdot 10^{-19}\,\text{N}

Es repulsiva (cargas del mismo signo): en ese punto el electrón está parado, pero la fuerza no se anula y lo empuja de vuelta hacia el infinito.

Consejo

En b1) pasa las rpm a rad/s antes de nada ( $1500\,\text{rpm} = 50\pi\,\text{rad/s}$ ) y los $\text{cm}^2$ a $\text{m}^2$ . Si en $t = 0$ el flujo es máximo, el flujo va con coseno y la f.e.m. con seno; no mezcles las dos.

En b2), el signo de $kQq$ te dice si la fuerza es atractiva o repulsiva. Si sale negativo, el electrón nunca se pararía: acelera hacia la carga.