Inducción electromagnética

a1) Esquema: hilo vertical con la corriente $I$ hacia arriba y la espira a su derecha, a distancia $d$, en el mismo plano (el del papel). Por la regla de la mano derecha, a la derecha del hilo el campo magnético es perpendicular al papel y entrante, de módulo$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$que solo depende de la distancia $r$ al hilo. El flujo a través de la espira es entrante y depende de lo lejos que esté:$$\Phi = \int_d^{d+a} \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,a\,dr = \frac{\mu_0 I a}{2\pi}\ln\frac{d+a}{d}$$Por la ley de Faraday, $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$: solo hay corriente inducida si el flujo cambia.

i) Si la espira se mueve paralela al hilo, $d$ no cambia: cada punto de la espira sigue a la misma distancia del hilo y ve el mismo campo. El flujo es constante y no se induce corriente.

ii) Si la espira se aleja del hilo, $d$ aumenta, el campo que la atraviesa es cada vez más débil y el flujo entrante disminuye. Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a esa disminución: crea dentro de la espira un campo entrante que compensa la pérdida. Una corriente que crea un campo entrante en el interior de la espira circula en sentido horario, tal como se ve en el esquema. Hay corriente inducida y circula en sentido horario.

(Equivale a decir que el lado más cercano al hilo, por el que la corriente inducida va en el mismo sentido que $I$, es atraído, y que la fuerza total sobre la espira frena su alejamiento).

a2) i) Esquema: líneas de campo paralelas y equidistantes (por ejemplo, horizontales hacia la derecha) y el protón en reposo entre ellas. Sobre él actúa la fuerza$$\vec{F} = q\,\vec{E} \qquad (q = +e > 0)$$que tiene la misma dirección y sentido que el campo y es constante. Al partir del reposo, el protón se mueve en el sentido de las líneas de campo, con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ($a = eE/m_p$). Es decir, se desplaza hacia potenciales decrecientes.

ii) La fuerza eléctrica es conservativa y es la única que actúa, así que la energía mecánica se conserva:$$\Delta E_c + \Delta E_p = 0 \qquad W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = \Delta E_c$$El campo realiza trabajo positivo (fuerza y desplazamiento tienen el mismo sentido), así que la energía potencial disminuye ($\Delta E_p = q\,\Delta V < 0$, porque $q > 0$ y el protón va hacia menor potencial) y la energía cinética aumenta en la misma cantidad. Así es como el campo acelera los protones de la protonterapia.

b1) i) Superficie de la espira, con $r = 0{,}12\ \text{m}$:$$S = \pi r^2 = \pi\cdot 0{,}12^2 = 4{,}52\cdot 10^{-2}\ \text{m}^2$$Como el campo es perpendicular al plano de la espira ($\theta = 0$), el flujo es$$\Phi(t) = B(t)\,S = 1{,}2\cdot 10^{-3}\cdot 4{,}52\cdot 10^{-2}\,\text{sen}(2\pi f t) = 5{,}43\cdot 10^{-5}\,\text{sen}(5\cdot 10^{4}\pi\,t)\ \text{Wb}$$con $2\pi f = 2\pi\cdot 2{,}5\cdot 10^{4} = 5\cdot 10^{4}\pi = 1{,}57\cdot 10^{5}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$. Por la ley de Faraday:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -B_0 S\,2\pi f\,\cos(2\pi f t)$$$$\varepsilon(t) = -5{,}43\cdot 10^{-5}\cdot 1{,}57\cdot 10^{5}\cos(5\cdot 10^{4}\pi\,t) = -8{,}53\cos(5\cdot 10^{4}\pi\,t)\ \text{V}$$ii) Por la ley de Ohm, con $R = 0{,}4\ \Omega$:$$I(t) = \frac{\varepsilon(t)}{R} = -\frac{8{,}53}{0{,}4}\cos(5\cdot 10^{4}\pi\,t) = -21{,}3\cos(5\cdot 10^{4}\pi\,t)\ \text{A}$$Es una corriente alterna de la misma frecuencia que el campo ($25\ \text{kHz}$), con valor máximo$$I_{\text{máx}} = \frac{B_0 S\,2\pi f}{R} = 21{,}3\ \text{A}$$iii) La intensidad máxima es directamente proporcional a la frecuencia:$$I_{\text{máx}} = \frac{2\pi f\,B_0 S}{R} \propto f$$Si $f$ disminuye en un factor 10, el flujo varía 10 veces más despacio, la f.e.m. máxima es 10 veces menor y la intensidad máxima también:$$I'_{\text{máx}} = \frac{21{,}3}{10} = 2{,}13\ \text{A}$$Por eso las placas de inducción trabajan a frecuencias altas: cuanto más rápido cambia el campo, mayor es la corriente inducida (y el calentamiento, que va como $I^2R$).

b2) i) Esquema: $q_1$ en $A(2,0)$, $q_2$ en $B(0,3)$ y el punto $C(2,3)$, que forma con ellas un ángulo recto. Las dos cargas son positivas, así que sus campos en $C$ salen de ellas.

• Desde $A$ hasta $C$: vector $(0,3)$, distancia $r_1 = 3\ \text{m}$, campo vertical hacia arriba:

$$E_1 = \frac{k q_1}{r_1^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{3^2} = 2000\ \text{N}\,\text{C}^{-1} \qquad \vec{E}_1 = 2000\,\vec{j}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$

• Desde $B$ hasta $C$: vector $(2,0)$, distancia $r_2 = 2\ \text{m}$, campo horizontal hacia la derecha:

$$E_2 = \frac{k q_2}{r_2^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{2^2} = 4500\ \text{N}\,\text{C}^{-1} \qquad \vec{E}_2 = 4500\,\vec{i}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Por el principio de superposición:$$\vec{E}_C = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 4500\,\vec{i} + 2000\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$|\vec{E}_C| = \sqrt{4500^2 + 2000^2} = 4{,}92\cdot 10^{3}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$que forma unos $24^\circ$ con el eje $X$ positivo.

ii) El punto medio entre las cargas es$$M = \left(\frac{2+0}{2},\ \frac{0+3}{2}\right) = (1;\ 1{,}5)\ \text{m}$$y está a la misma distancia de las dos, la mitad de la separación $AB$:$$r = \frac{\sqrt{2^2+3^2}}{2} = \frac{\sqrt{13}}{2} = 1{,}80\ \text{m}$$El potencial es escalar y se suman los dos, que son iguales:$$V_M = \frac{k q_1}{r} + \frac{k q_2}{r} = 2\cdot\frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{1{,}80} = 2{,}00\cdot 10^{4}\ \text{V}$$(Ahí el campo es nulo, porque los dos campos son iguales y opuestos, pero el potencial no: los potenciales de dos cargas positivas se suman).