FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Junio

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Enunciado

En un programa de divulgación científica has visto el siguiente titular alarmista: «Un satélite Starlink que está orbitando la Tierra podría caer, porque existe un alto riesgo de colisión con un meteorito que pasará muy cerca, y podría destruir grandes zonas».

En la realidad, la constelación de satélites Starlink está formada por miles de satélites en órbita alrededor de la Tierra. Para simplificar, supongamos que solo hay tres tipos de satélites Starlink, clasificados según su masa: Tipo V1:

m_1 = 300\,\text{kg}

, Tipo V2:

m_2 = 600\,\text{kg}

, Tipo V3:

m_3 = 2200\,\text{kg}

. Dado que la noticia no lo especifica, supón que el satélite es del tipo V1.

Analiza si el titular es físicamente razonable, y responde a las siguientes cuestiones.

a) Supón que el satélite describe una órbita geoestacionaria alrededor de la Tierra. (1 punto)

a.1) Calcula el radio

r_{\text{geo}}

de dicha órbita a partir de la condición de órbita geoestacionaria (

T = 24\,\text{h}

). (0,5 puntos)

a.2) Calcula la altura

h

sobre la superficie terrestre. (0,25 puntos)

a.3) Calcula la velocidad orbital

v_{\text{orb}}

del satélite. (0,25 puntos)

b) Imagina ahora el peor escenario: el meteorito choca contra el satélite. (1 punto)

b.1) El satélite se dirige hacia la Tierra en caída libre con velocidad inicial nula; calcula la velocidad con la que llegará a la superficie terrestre (despreciando el rozamiento con la atmósfera). (0,5 puntos)

b.2) Compara la energía cinética del satélite al llegar a la superficie de la Tierra con la energía liberada por un petardo potente (del orden de

10^4

10^5\,\text{J}

). ¿Te parece realista que este impacto «destruya grandes zonas»? (0,5 puntos)

c) Supón que el satélite fuera de tipo V2 o V3, en lugar de V1. Razona, sin hacer ningún cálculo, si cambiarían los valores de

r_{\text{geo}}

v_{\text{orb}}

y la velocidad de caída; y si cambiaría la energía mecánica. Justifica tu respuesta. (0,5 puntos)

Datos (de la tabla del examen):

G = 6{,}67\times10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

M_T = 5{,}97\times10^{24}\,\text{kg}

;

R_T = 6{,}37\times10^{6}\,\text{m}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

r_{\text{geo}} = 4{,}22\times10^{7}\,\text{m}

;

h = 3{,}59\times10^{7}\,\text{m}

(

\approx 35\,900\,\text{km}

);

v_{\text{orb}} = 3{,}07\times10^{3}\,\text{m/s}

.

b)

v = 1{,}03\times10^{4}\,\text{m/s}

;

E_c = 1{,}59\times10^{10}\,\text{J}

, de

10^5

10^6

petardos: muy destructivo.

c)

r_{\text{geo}}

v_{\text{orb}}

y la velocidad de caída no cambian (la masa se cancela); la energía mecánica, proporcional a

m

, sí.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo el problema gira alrededor de la gravedad terrestre. En a) el satélite da vueltas en una órbita circular: la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y como es geoestacionario su periodo es un día. De ahí sale el radio, y con él la altura y la velocidad. En b) el satélite queda parado a esa distancia y cae: como la gravedad es conservativa (y despreciamos el aire), la energía mecánica se conserva entre la órbita y la superficie. Ojo: desde tan lejos no vale

mgh

, hay que usar

E_p = -GMm/r

. Con la velocidad de llegada calculamos la energía cinética y la comparamos con la de un petardo. En c) basta fijarse en qué ecuaciones lleva la masa del satélite y en cuáles se cancela.

Desarrollo

a.1) Condición de órbita circular. La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:

\frac{GM_Tm}{r^2} = m\,\omega^2 r = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\quad\Longrightarrow\quad r_{\text{geo}} = \sqrt[3]{\frac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}}

Sustitución. Con

GM_T = 6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}97\times10^{24} = 3{,}98\times10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2

T = 24\,\text{h} = 86\,400\,\text{s}

r_{\text{geo}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}98\times10^{14}\cdot(86\,400)^2}{4\pi^2}} = 4{,}22\times10^{7}\,\text{m}

a.2) Altura sobre la superficie. El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

h = r_{\text{geo}} - R_T = 4{,}22\times10^{7} - 6{,}37\times10^{6} = 3{,}59\times10^{7}\,\text{m} \approx 35\,900\,\text{km}

a.3) Velocidad orbital. De la misma igualdad,

\dfrac{GM_Tm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}

v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM_T}{r_{\text{geo}}}} = \sqrt{\frac{3{,}98\times10^{14}}{4{,}22\times10^{7}}} = 3{,}07\times10^{3}\,\text{m/s}

(Se comprueba con

v = 2\pi r/T

, que da lo mismo:

3{,}07\,\text{km/s}

.)

b.1) Conservación de la energía mecánica. El satélite parte del reposo a

r_{\text{geo}}

y llega a

R_T

; solo actúa la gravedad:

-\frac{GM_Tm}{r_{\text{geo}}} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GM_Tm}{R_T}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2GM_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r_{\text{geo}}}\right)}

Sustitución.

v = \sqrt{2\cdot3{,}98\times10^{14}\left(\frac{1}{6{,}37\times10^{6}} - \frac{1}{4{,}22\times10^{7}}\right)} = 1{,}03\times10^{4}\,\text{m/s}

Unos

10{,}3\,\text{km/s}

, casi tanto como la velocidad de escape desde la superficie (

11{,}2\,\text{km/s}

): cae desde muy lejos.

b.2) Energía cinética al llegar.

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\cdot300\cdot(1{,}03\times10^{4})^2 = 1{,}59\times10^{10}\,\text{J}

Comparación. Frente a un petardo de

10^4

10^5\,\text{J}

\frac{E_c}{E_{\text{petardo}}} = \frac{1{,}59\times10^{10}}{10^{5}} \approx 1{,}6\times10^{5}\quad\text{a}\quad \frac{1{,}59\times10^{10}}{10^{4}} \approx 1{,}6\times10^{6}

El impacto liberaría entre cien mil y un millón de veces la energía de un petardo potente (del orden de la explosión de unas pocas toneladas de explosivo). Con esa energía, el impacto sí podría causar una destrucción importante alrededor del punto de caída, así que, en el peor escenario y sin aire, el titular no es físicamente absurdo. Eso sí, es un escenario muy forzado: en la realidad la atmósfera frenaría y desintegraría casi todo el satélite antes de llegar al suelo.

c) Papel de la masa del satélite. En la condición de órbita,

\dfrac{GM_Tm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}

, la masa

m

del satélite aparece en los dos miembros y se cancela:

r_{\text{geo}}

v_{\text{orb}}

solo dependen de

M_T

y de

T

. Lo mismo ocurre en la conservación de la energía de b.1: todos los términos llevan

m

y se simplifica, así que la velocidad de caída tampoco cambia (todos los cuerpos caen igual en un mismo campo gravitatorio). En cambio, la energía mecánica del satélite en órbita,

E_m = -\frac{GM_Tm}{2r_{\text{geo}}}

es proporcional a

m

: con un satélite V2 sería el doble, y con un V3,

2200/300 \approx 7{,}3

veces mayor en valor absoluto (también la energía cinética del impacto).

Consejo

Los criterios piden el cálculo simbólico antes que el numérico y descuentan por unidades ausentes o mal redondeadas. En la caída desde la órbita no uses $E_p = mgh$ : $g$ no es constante entre 36 000 km de altura y el suelo, y el resultado sale muy distinto. Y en c) di explícitamente que la masa se cancela en las ecuaciones del movimiento pero no en las de la energía.

Paso 1 de 3

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